1、已知数列?an?中a1?2，an?1?(2?1)(an?2)，n?1，2，3，…． （Ⅰ）求?an?的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，n?1，2，3，…， 2bn?3证明：2?bn≤a4n?3，n?1，2，3，…． 解：（Ⅰ）由题设：
an?1?(2?1)(an?2)
?(2?1)(an?2)?(2?1)(2?2) ?(2?1)(an?2)?2， an?1?2?(2?1)(an?2)．
所以，数列an?2是首项为2?2，公比为2?1的等比数列，
an?2?2(2?1)n，
n(2?1)?1?即an的通项公式为an?2?，2，3，…． ??，n?1??（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n?1时，因2?2，b1?a1?2，所以
2?b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n?k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3， 也即0?bk?2≤a4k?3?3． 当n?k?1时，
bk?1?2?3bk?4?2 2bk?3?(3?22)bk?(4?32)
2bk?3(3?22)(bk?2)?0，
2bk?3?又
11??3?22， 2bk?322?3(3?2b2)(k?2bk?3所以 bk?1?2?
2)?(3?22)2(bk?2) ≤(2?1)4(a4k?3?2) ?a4k?1?2．
也就是说，当n?k?1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?1，2，3，…． 2、设数列{an}的首项a1?(0，，1)an?（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn?an3?2an，证明bn?bn?1，其中n为正整数． 解：（1）由an?
3?an?1 ，n?2，3，4，…，21整理得 1?an??(1?an?1)．
21又1?a1?0，所以{1?an}是首项为1?a1，公比为?的等比数列，得
23?an?1，n?2，3，4，…． 2
?1?an?1?(1?a1)????2?n?1
（2）方法一： 由（1）可知0?an?22那么，bn?1?bn
3，故bn?0． 222?an?1(3?2an?1)?an(3?2an)
3?an?2?3?an?? ??3?2?????an(3?2an)
2??2??9a?n(an?1)2.42
22又由（1）知an?0且an?1，故bn?1?bn?0，
因此
bn?bn?1，n为正整数．
方法二：
3由（1）可知0?an?，an?1，
23?an因为an?1?，
2所以
bn?1?an?13?2an?1?(3?an)an23．
?3?an?由an?1可得an(3?2an)???， 2???3?an?即 a(3?2an)????an
?2?2n2两边开平方得 an3?2an?即 bn?bn?1，n为正整数．
3?an?an． 23、（全国卷I）设数列?an?的前n项的和
Sn?412?? an??2n?1?，n?1,2,3,?333（Ⅰ）求首项a1与通项an；
n2n3（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,???，证明：?Ti?
Sn2i?1412412
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
333333412
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
333
41
将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
33
整理得: an+2n=4(an－1+2n1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 :
－
an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
－
4121
(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
33332
= ×(2n+1－1)(2n－1)
3
2n32n311 Tn= = ×n+1 = ×(n － n+1) nSn2 (2－1)(2－1)22－12－1
所以,
?i?1n3Ti= 2
?(i?1n113113 － i+1) = ×(1 － i+1) <
22－122－12－12－1
i设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3，n?N*．
n（Ⅰ）设bn?Sn?3，求数列?bn?的通项公式；
n（Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．
*解：
（Ⅰ）依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3，即Sn?1?2Sn?3， 由此得Sn?1?3n?1nn?2(Sn?3n)． ·························································································· 4分
因此，所求通项公式为
bn?Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N*．①··············································································· 6分
（Ⅱ）由①知Sn?3?(a?3)2于是，当n≥2时，
nn?1，n?N，
*an?Sn?Sn?1
?3n?(a?3)?2n?1?3n?1?(a?3)?2n?2 ?2?3n?1?(a?3)2n?2， an?1?an?4?3n?1?(a?3)2n?2 ?2n?2??3?n?2??12????a?3?， ??2????当n≥2时，
?3?an?1≥an?12????2?n?2?a?3≥0
?a≥?9．
又a2?a1?3?a1．
??? 综上，所求的a的取值范围是??9，
4、设数列?an?的前n项和为Sn，已知ban?2??b?1?Sn
n（Ⅰ）证明：当b?2时，an?n?2n?1是等比数列； （Ⅱ）求?an?的通项公式 【解】：由题意知a1?2，且
??ban?2n??b?1?Sn ban?1?2n?1??b?1?Sn?1
两式相减得b?an?1?an??2??b?1?an?1
n即an?1?ban?2n ①
（Ⅰ）当b?2时，由①知an?1?2an?2n 于是an?1??n?1??2?2an?2??n?1??2
nnnn?1 ?2an?n?2
n?1又a1?1?2n?1?1?0，所以an?n?2是首项为1，公比为2的等比数列。
????（Ⅱ）当b?2时，由（Ⅰ）知an?n?2n?1?2n?1，即an??n?1?2 当b?2时，由由①得
n?1
an?1?11?2n?1?ban?2n??2n?1 2?b2?bb?ban??2n
2?b1???b?an??2n?
2?b??因此an?1?11???2n?1??b?an??2n? 2?b2?b???2?1?b?2?b?bn
n?1?2?得an??1 nn?1??2?2?2bbn?2?????2?b?5、在数列{an}中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1（n?2,q?0）．