*（Ⅰ）设bn?an?1?an（n?N），证明{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n?N，an是an?3与an?6的等差中项． 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设an?1?(1?q)an?qan?1（n?2），得
*an?1?an?q(an?an?1)，即bn?qbn?1，n?2．
又b1?a2?a1?1，q?0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． （Ⅱ）解法：由（Ⅰ） a2?a1?1， a3?a2?q， ……
an?an?1?q，（n?2）． 将以上各式相加，得an?a1?1?q???qn?22（n?2）．
?1?qn?1,?1?所以当n?2时，an??1?q?n,?上式对n?1显然成立．
q?1,q?1.
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q?1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q?1． 由a3?a6?a9?a3可得q?q?q?q，由q?0得q?1?1?q， ① 整理得(q)?q?2?0，解得q??2或q?1（舍去）．于是q??32． 另一方面，an?an?332333522836qn?2?qn?1qn?13??(q?1)，
1?q1?qqn?1?qn?5qn?1?(1?q6)． an?6?an?1?q1?q*由①可得an?an?3?an?6?an，n?N．
所以对任意的n?N，an是an?3与an?6的等差中项．
*
6、已知?an?是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn?（Ⅰ）证明?bn?为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列?bn?各项的和S?1，n?1,2,3,…． a2n1，求数列?an?的首项a1和公差d． 3（注：无穷数列各项的和即当n??时数列前项和的极限）
⑴证明：设{an}中首项为a1，公差为d.
∵lga1,lga2,lga4成等差数列 ∴2lga2=lga1·lga4 ∴a22=a1·a4. 即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0或d=a1 当d=0时, an=a1, bn=
b11?, ∴n?1?1，∴?bn?为等比数列； a2na1bnb111?n，∴n?1?，∴?bn?为等比数列 a2n2a1bn2当d=a1时, an=na1 ,bn=
综上可知?bn?为等比数列 ⑵∵无穷等比数列{bn }各项的和S?∴|q|<1, 由⑴知，q=
1 3111?n , d=a1 . bn=
a2n2a1211ba2a111∴S?1?2???, ∴a1=3 1?q1?q1?1a132?a1?3∴? d?3?