1.复习
3.4 高斯随机过程
(1) 高斯随机过程的定义
若随机过程??t?的任意n维（n = 1，2，…）分布服从正态分布（高斯分布），则称此随机过程为高斯随机过程。高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机变量，它服从正态分布，其一维概率密度函数为
f?x????x?a?2?exp??? 22?2????1
(2) 高斯过程的性质：
① 如果高斯过程是广义平稳过程，则也是狭义平稳的。
② 若高斯过程中的各随机变量两两之间互不相关，则它们也是统计独立的。 ③ 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。
3.5 窄带随机过程
(1) 窄带随机过程的定义
① 窄带随机过程的功率谱密度
若上图所示的功率谱密度P其中心频率fc远大于带宽?f即?f??fc??f?，时，则称为窄带随机过程。
② 窄带随机过程的样本函数
窄带随机过程的一个样本波形如同一个包络和相位随机缓慢变化得余弦波，如下图所示。
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(2) 窄带随机过程的表示式
?(t)?a?(t)Cos??ct???(t)? a??t??0 ?(t)??c(t)Cos?ct??s(t)Sin?ct
随机包络a??t?、随机相位???t?与同相分量?c?t?、正交分量?s?t?之间的关系式：
?c(t)?a?(t)Cos??(t) ?s(t)?a?(t)Sin??(t)
a??t???c2?t???s2?t?
??t????t??arctans
?c?t?
2.本次课学习的主要章节：
3.5 窄带随机过程（续）
3.6 余弦波加窄带平稳高斯过程
3.5.3 同相分量与正交分量的统计特性
结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程??t?，它的同相分量?c?t?和正交分量?s?t?同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。另外，在同一时刻上得到的随机变量?c及?s是不相关的或统计独立的。
① ?c?t?、?s?t?的均值都为零 对式（3.5.4）求数学期望，得
E??(t)??E??c(t)Cos?ct??s(t)Sin?ct?
?E??c(t)?Cos?ct?E??s(t)?Sin?ct （3.5.5）
因为??t?的均值为零，所以
E??c(t)?Cos?ct?E??s(t)?Sin?ct?0 （3.5.6）
为使在任意时间t，上式均成立，只能是
E??c(t)??0E??s(t)??0 （3.5.7）
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② ?c?t?、?s?t?也将是平稳的，即有R?(t,t??)?R????、R?(t,t??)?R????。
CCSS求??t?的自相关函数为
R??t,t????E???t???t????
?E???c(t)Cos?ct??s(t)Sin?ct????c(t??)Cos?c(t??)??s(t??)Sin?c(t??)???E??c?t??c?t????Co?sctCo?sc(t??)
?E??c?t??s?t????Co?sctSi?nc(t??)?E??s?t??c?t????Si?nctCo?sc(t??)?E??s?t??s?t????Si?nctSi?nc(t??)?R?C(t,t??)Cos?ctCos?c(t??)?R?C?S(t,t??)Cos?ctSin?c(t??)?R?S?C(t,t??)Sin?ctCos?c(t??)?R?S(t,t??)Sin?ctSin?c(t??)
（3.5.8）
因为??t?是平稳的，故有 R?(t,t??)?R????
这就要求式（3.5.8）的右边与t无关，即在任意时间t，式（3.5.8）仅与?有关。
首先令t?0，则式（3.5.8）应成立，此时有
R?????R?C(t,t??)Cos?c??R?C?S(t,t??)Sin?c? （3.5.9）
这时，显然要求
?R?C?t,t????R?C??? ?
????Rt,t???R??C?S??C?S于是，式（3.5-9）变成
R?????R?C(?)Cos?c??R?C?S(?)Sin?c? （3.5.10） 再令t??，则同理可求得 2?cR?????R?S(?)Cos?c??R?S?C(?)Sin?c? （3.5.11） 由此证明，?c?t?、?s?t?也将是平稳的。
③ ?c?t?及?s?t?与??t?的方差相同，即??2???2C???2S。 在式（3.5.10）及式（3.5.11）中，令??0，可得到
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R??0??R?C(0)?R?S(0) （3.5.12）
因??t?、?c?t?及?s?t?的均值都为零，于是它们的方差也相同，即
??2???2C???2S （3.5.13）
④ ?c?t?、?s?t?也是高斯过程
由式（3.5.4）得，当t1?0时，??t1???c?t1?；当t2??时，??t2????s?t2?。2?c由于??t?是高斯过程，故?c?t1?、?s?t2?也是高斯随机变量。又因为已证得?c?t?、
?s?t?是平稳的，所以?c?t?、?s?t?的概率分布与时间起点无关，从而?c?t?、?s?t?也是高斯过程。
⑤ 在同一时刻上得到的?c及?s是不相关的或统计独立的
由式（3.5.10）及式（3.5.11）看出，要使这两式同时成立，则应有
?R?C????R?S??? ?
????R???R??S?C??C?S根据互相关函数性质R?C?S????R?S?C????及上式，可得 R?S?C?????R?S?C????
上式说明，R?S?C???是一个?的奇函数，故
R?S?C?0??0 （3.5.14）
同理可证
R?C?S?0??0 （3.5.15）
从式（3.5.14）及式（3.5.15）看出，?c与?s在同一时刻上是不相关的，又因为?c及?s是高斯随机变量，因而它们也是统计独立的。
3.5.4 包络与相位的统计特性
结论：一个均值为零、方差为??2的窄带平稳高斯过程，其包络a??t?的一维分布是瑞利分布，而其相位???t?的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，a?与??是统计独立的。
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证明：
① 包络a??t?的一维分布是瑞利分布
由上面的分析可知，?c与?s是统计独立的高斯随机变量，因而，?c 与?s的联合概率密度函数可以表示成
??c2exp???2?22?????1???S21??exp????2?22???????? ??f(?c,?s)?f(?c?)?f(?s) =
=
1?222??2exp(?c??s2) （3.5.16）?2?? 根据概率论知识，a?与??的二维联合概率密度函数f?a?,???可表示为 f?a?,??? = Jf(?c,?s) （3.5.17）式中，J称为雅可比?jacobi?行列式，它由下式决定
??c??s J??a??a???c?? s??????利用关系式?C?a?cos??及?S?a?sin??，可得
??c??s J??a??a?co?s?sin????c???s?a?sin??a?a?
?co?s???????代入式（3.5.17）求出a?与??的联合概率密度函数f?a?,???为
f?a?,????a?f(?c,?s)
?a????a?co?s??2??a?sin???2?2??exp???2??2??2?
??a?exp??a2??2??2??? （3.??2?25.18）???再计算上式的边际分布，可求得包络a?的一维概率密度函数为
f(a??)??20f(a?,??)d??
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