???2?a?2???220?a?2??d?? exp??2??2????a??0 （3.5.19）
a????a?2??exp??2??2????上式表明，包络a?的一维概率密度函数服从瑞利分布，如图3.5.2所示。
图3.5.2 瑞利分布曲线
② 相位???t?的一维分布是均匀分布
同样，通过计算式（3.5.18）的边际分布，得到相位??的一维概率密度函数为
?f(??)??f(a?,??)da?
0????a?2???20?a?2??da? exp??2??2????12?0????2? （3.5.20）
可见，??服从均匀分布。
3.5.5 窄带随机过程的功率谱密度
窄带随机过程同相分量?c?t?及正交分量?s?t?与窄带过程??t?功率谱密度的关系为
????2?P????C??P?????C? P?C????P?S?????? （3.5.21）
0其他??上式表明，?c?t?及?s?t?的功率谱密度是低通型的。
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3.6余弦波加窄带平稳高斯过程
1.余弦波加窄带高斯过程的概念
余弦波加窄带高斯过程是数字调制系统中遇到的随机过程，通常是指由下式确定的混合波形：
r?t??ACo??sct????n?t? （3.6.1） 其中：
ACos??ct???是具有随机相位的余弦波，随机变量?在?0,2??内均匀分布，振幅A和角频率?c均为常数；
n?t??nc(t)Cos?ct?ns(t)Sin?ct为窄带平稳高斯过程，其均值为零，方差为
2。 ?n
2.余弦波加窄带高斯过程的表达式 将式（3.6.1）改写成
r?t??ACoc?ctCos??ASin?ctSin?+ [nc(t)Cos?ct?ns(t)Sin?ct]
??Acos??nc?t??Cos?ct - ?Asin??ns?t??Sin?ct （3.6.2） 令
?z?t??Acos??nc?t? ?c （3.6.3）
?????zst?Asin??nst则式（3.6.2）可表示为
r?t? = zc(t)Cos?ct?zs(t)Sin?ct ?z?t?Co?s?ct???t?? （3.6.4） 其中，r?t?的包络z?t?和相位??t?分别为
2?t??zs2?t? z?t??0 （3.6.5） z?t??zcz?t? ??t??arctasn 0???2? （3.6.6）
zc?t?并且有
zc?t??z?t?Co?s?t? zs?t??z?t?Si?n?t?
7
3.包络z?t?的一维概率密度函数 分析思路：
① 假定在给定相位?的条件下，找到Zc与Zs的联合概率密度函数
f?Zc,Zs/??；
② 利用关系式f(Z,?/?)?Jf?Zc,Zs/??以及Zc?Zcos?和Zs?Zsin?，求出Z与?的联合概率密度函数；
③ 计算边际分布f(Z/?)??2?0f(Z,?/?)d?。
2?0④ 如果f(Z/?)与?有关，那么f?Z???f?Z??f???d?。
(1) 同相分量Zc?t?和正交分量Zs?t?的联合概率密度函数
在给定相位?的条件下，利用3.5节的结果，Zc?Aco?s?nc与
Zs?Asin??ns是相互独立的高斯随机变量，它们的数学期望和方差分别为 E?Zc??Aco?s E?Zs??Asin?
2 ?c2??s2??n
于是，在给定相位?的条件下，Zc及Zs的一维概率密度函数分别为 f?Zc/??? f?Zs/???2??Zc?Aco?s??ex?p?? （3.6.7） 22?2????n??1??Zs?Asin??2?ex?p?? （3.6.8） 22?n2??????1所以，Zc 与Zs的联合概率密度函数可表示为 f?Zc,Zs/?? = f?Zc/???f?Zs/?? =
?122????exp?Z?Acos??Z?Asin??cs222??n?2?n1????
? 8
（3.6.9）
(2) 包络Z的一维概率密度函数
以相位?为条件的Z与?的联合概率密度函数为
?Zc?Zf(Z,?/?)?Jf?Zc,Zs/????Zc???Zs?Zf?Z,Z/??
cs?Zs??利用关系式Zc?Zcos?和Zs?Zsin?可得
f?Z,???=
?1?22exp?[Z?A?2AZcos(???)]?? （3.6.10） 222??n?2?n?Z2?求上式的边际分布，可得以相位?为条件的包络Z的一维概率密度函数为
f(Z/?)????02?f(Z,?/?)d? ?1?22exp?(Z?A?2AZcos(???))?d??222??n???2?n?Z0?1?2??AZ?22?exp??(Z?A)??exp?2cos(???)?d? 2202??n?????2?n???n?Z?1?AZ22?2exp??(Z?A)?I(?02),2?n?n?2?n???ZZ?0
（3.6.11） 12?exp(xcos?)d?称为0阶修正贝塞尔函数。 式中，I0(x)?2??0由式（3.6.11）看出，f?Z/??与?无关，故余弦波加窄带平稳高斯过程的包络的一维概率密度函数为
f(Z)??1AZ22?exp?(Z?A)?I(??02),22?n?n?2?n?ZZ?0 （3.6.12）
式（3.6.12）的分布叫做广义瑞利分布或莱斯（Rice）分布。
上式存在两种极限情况：
(1) 当A?0时，相当于x值很小，有I0(x)?1，于是莱斯分布退化为瑞利分布。
ex(2) 当x值很大时，有I0(x)?，这时在z?A附近近似为高斯分布。
2?x在一般情况下，f?z?才是莱斯分布。图3.6.1给出了不同的r值时f?z?的曲线。
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3.6.1 余弦波加窄带高斯过程包络的概率密度函数10
图