第20课时 梯形
一、知识点导航图
一组对边平行四边形一组对边不平行二、中考课标要求
考点 梯形
三、中考知识梳理 1.梯形的运用
课标要求 直角梯形的概念 等腰梯形的概念 有一个角是直角梯形两腰相等直角梯形等腰梯形
知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 ∨ ∨ ∨ 等腰梯形的性质与判定 有关梯形问题, 常常用添加辅助线的方法把梯形转化成特殊四边形与三角形的问题来解决.如:作高、平移一腰、平移对角线、延长两腰交于一点、过一腰中点作另一腰的平行线等.
2.三角形、梯形中位线的应用
①注意三角形的中位线与三角形的中线的区别.
②在实际问题中常过一边的中点作另一边的平行线从而运用中位线定理解决问题. 四、中考题型例析
1．梯形的运用
例1 (2003.潍坊)如图,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,点E为BC的中点, 设△DEA的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,则S1与S2的关系为_______.
分析:由E点为BC的中点,故可联想延长DE与AB的延长线相交,将梯形的面积转化成三角形的面积.
答案:S1?12S2.
DS1ACEBF点评:将四边形转化成三角形是寻求解题思路,探求解题方法的重要途径, 注意适当地作出辅助线,学会转化的数学思想.
2.等腰梯形的有关计算
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例2 (2003.潍坊)已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=4, BC=7.求∠B的度数.
解:如过A点作AE∥CD,有 □AECD,则△ABE为等边三角形. 答案:∠B=60°.
点评:在梯形中常通过作腰的平行线,构造平行四边形、三角形, 从而把分散的条件集中到三角形中去,从而为证题创造必要的条件.
3. 梯形知识的综合运用
ADBEC例3 (2004.上海)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD,使点B重合于D,折痕分别交边AB、BC于点F、E,若AD=2,BC=8.
求:(1)BE的长;(2)∠CDE的正切值.
分析:本题运用轴对称及等腰梯形的性质可解决. 解:(1)由题意得△BEF≌△DFE,
∴DE=BE,∵在△BDE中,DE=BE,∠DBE=45°, ∴∠BDE=∠DBE=45°,∴∠DEB=90°, ∴DE⊥BC. ∴EC=
12AFD(BC-AD)=
12BEC(8-2)=3.
∴BE=5.
(2)由(1)得DE=BE=5,在△DEC中,∠DEC=90°,DE=5,EC=3, ∴tan∠CDE=
ECED?35.
点评:本题是一道综合题目,它把梯形、全等、三角函数等知识综合在一起，考查了综合运用知识的能力。
基础达标验收卷
一、选择题
1.(2002.荆州)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD=a,CD=b, 则AB等于( ) A.a+
b2a2 B.+b C.a+b D.a+2b
DCAODAADDEABBCBCBC
(1) (2) (3) (4)
- 2 -
2.(2003.南通)梯形的上底长为a,下底长是上底长的3倍,则梯形的中位线长( ) A.4a B.2a C.1.5a D.a 3.(2003.仙桃市、潜江市、江汉油田)如图2,线段AC、BD相交于点O,欲使四边形ABCD成为等腰梯形,满足的条件是( )
A.AO=CO,BO=DO B.AO=CO,BO=DO,∠ACB=90°
C.AO=DO,BO=CO,且AO≠CO D.AO=DO,∠AOD=90°
4.(2004.河北)如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是( ) A.10 B.
212 C.
152 D.12
二、填空题
1.(2003.黄冈)四边形ABCD各角的比为∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4, 则这个四边形为___. 2.(2004.云南)如图4,在△ABC中,DE∥BC,
ADDB?13,则
DEBC=_____.
3.(2002.重庆)如图,已知AB∥DC,AE⊥DC,AE=12,BD=15,AC=20, 则梯形ABCD的面积为_______.
4.(2003.潍坊)已知等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为_______cm.
5.已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°,BD=23,AE是梯形的高,且BE=1,则AD= ______. 三、解答题
ABDEC1.(2003.隋州)已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC上,记为A′,若AD=4,BC=6,求A′B.
ADA'B求证:△ADN是等腰三角形.
C
2.(2003.杭州)如图,EF为梯形ABCD的中位线,AC平分∠DAB交EF于M,延长DM交AB于N,
DEA- 3 -
CMFB
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC-AD=2cm,∠B=90°,∠C=45°,BC+AD=10cm. 求梯形ABCD的面积.
ADBC
能力提高练习
一、开放探索题
1.如图,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,点P在腰AD上移动,要使PB+PC最小. (1)则应满足( )
A.PB=PC B.PA=PD C.∠BPC=90° D.∠APB=∠DPC (2)试求出P点的位置.
DCAB
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点. (1)求证:四边形MENF是菱形;
(2)若MENF是正方形,那么梯形的高与底边BC有何关系?
AEMDFB
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NC
二、学科内综合题
3.(2004.长沙)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得∠APE=∠B. (1)求证:△ABP∽△PCE.
(2)求等腰梯形的腰AB的长.
答案:
基础达标验收卷
一、1.C 2.B 3.C 4.C 二、1.梯形 2.
14 3.150 4.8 5.2
三、1.解:∵△ABD和△A′BD重合,
∴△ABD≌△A′BD.
∴∠ADB=∠CDB.DA′=DA=4. ∵∠ADC=∠C=90°,
∴∠BDC=∠ADB=45°.∵AD∥BC, ∴∠DBC=∠ADB=45°, ∴DC=BC=6.
∴A′C=CD-DA′=6-4=2.
由勾股定理,在Rt△A′BC中,得A′B=210. - 5 -
ADEBPC
2.证明:∵EF为梯形ABCD的中位线,AC平分∠DAB,
∴EF∥AB,∠EAM=∠EMA=∠NAM.
∴EA=EM,可得AD=2EM. 又∵EM为△DAN的中位线, ∴AN=2EM,∴AD=AN.
∴△ADN为等腰三角形.
2
3.解:过D作DE⊥BC,垂足为E.S梯形ABCD=10cm. 能力提高练习
1.(1)延长CD至C′,使C′D=CD.连结BC′交AD于P点,P点即为所求.
∵DP垂直平分CC′,
∴PC′=PC,∠C′=∠C′CP. ∵C′C∥AB,∴∠C′=∠PBA. ∴∠C′CP=∠PBA. ∴∠APB=∠CPD,故选D.
(2)略.
2.(1)提示:由四边形ABCD是等腰梯形可证△ABM≌△DCM,
∴BM=CM,∴EN//同理NF//1212CM=MF.
BM=ME.
又∵BM=CM, ∴NE=MF=NF=ME.
∴四边形ENFM是菱形. (2)连结MN,∵BM=CM,BN=CN,
∴MN⊥BC.
∵四边形MENF为正方形, ∴∠EMF=90°.
∴△BMC为等腰直角三角形. ∴MN=
12BC.
即:梯形的高等于底边的一半.
3.(1)证明:由∠APC为△ABP的外角,得∠APC=∠B+∠BAP.
又∵∠B=∠APE,∴∠EPC=∠BAP.
又∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCE.
(2)过A作AF⊥BC于F,由已知易求得BF= =2(cm)
在Rt△ABF中,∠B=60°,BF=∴ AB=4(cm).
7?32=2(cm),
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