5.证明 连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有
..Erdos不等式有： 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用
BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. I就是一点两心.
6．提示：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 CD交AM于G，G必为△ABC重心. 连GE，MF，MF交DC于K.易证：
DAEGOBKCID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.
AFBQSCIPEDF111DG:GK=DC:(?)DC=2:1.
323 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.
7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB.
利用内心张角公式，有 1
∠AIB=90°+∠C=105°，
2
BAIFD30°COEK111
∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+ (∠BAC-∠BAO)=30°+ (∠
222
1
BAC-60°)=∠BAC=∠BAI=∠BEI.
2
∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
习题17解答
1． B；2．A；3．A；4．C；5．选B，只有（3）是对的；
6．略；7．略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的轨迹是一条线段.
补充：
第五讲 三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关
于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP
=NC，故点M是△P′BP的外心，点 N是△P′PC的外心.有 ∠BP′P= ∠PP′C=
11∠BMP=∠BAC， 2211∠PNC=∠BAC. 22BMPP'ANC ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.
从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上. 由于P′P平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.
例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为
顶点的三角形与△ABC相似.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外 心性质可知 ∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C.
∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+
∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△
O1KO3.
1 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
2BPAO1....SKCO2QO3
= = =
1(∠O2O1S+∠SO1K) 21(∠O2O1S+∠PO1O2) 21∠PO1S=∠A； 2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，
其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB
，BC相交.从A，C，D，E，F分别 作该直线的垂线，垂足为A′，C′， BD′，E′，F′. ∴EE′=DD′+FF′. 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.
其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到
H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.
(1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△′. 若△ABC为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a≥b≥c，有 CF= BE= AD=
12a2?2b2?c2， 212c2?2a2?b2， 212b2?2c2?a2. 2A'FF'GE'D'AEC'DCP 易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=
333a，BE=b，AD=c. 222
333a:b:c 222 =a:b:c. ∴CF:BE:AD =
故有△∽△′.
(2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列. 当△中a≥b≥c时， △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′， ∴
S?'CF2
＝().
aS?S?'33 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.
4S?4CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2
4a?a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为
△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛)
分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径
为R.由△A2A3A4知
A2H1A1A2H13 =2R?A2H1=2Rcos∠A3A2AA4；sin?A2A3H1O.H2A4 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.
∥ 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 =A1H2，
故得H1H2 ∥ A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. = 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4
与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.
例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线
EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B2AC1分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设
A1FH2MEBC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 BH接圆半径为R，⊙H的半径为r. H1CD 连HA1，AH交EF于M. C2 AA222222
B11=AM+A1M=AM+r-MH
=r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(
1AH1)2-(AH-12AH1)22 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2
=cosA·bc-AH2， 而
AHsin?ABH=2R?AH2=4R2cos2A,
asinA=2R?a2=4R2sin2A. ∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由①、②、③有
22
b2?c2A1=r+?a2A2bc·bc-(4R2-a2)
=
1(a2+b2+c2
)-4R2+r22. 同理，BB211=
2(a2+b2+c2
)-4R2+r2， CC2121=(a+b2+c2)-4R2+r22.
故有AA1=BB1=CC1.
A2①
②
③