四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABC，△BCD， △CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形. (1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之
内心.
(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.
当AB≠AC，怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ= ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK= =
MQ?QN AQBNKMREOrααPQFCAO1DO4O3CO2BAr. sin?(2R?r)?r=sin??(2R?r).
r/sin? 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.
∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.
式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b). ∵p(p-c)= =
11(a+b+c)·(a+b-c) 221[(a+b)2-c2] 4rcO3OrEBO1KAO2rb1 =ab；
2raC(p-a)(p-b)= =
11(-a+b+c)·(a-b+c) 22121[c-(a-b)2]=ab. 42∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p.
1而r=(a+b-c)
2 =p-c. ∴r+ra+rb+rc
=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，
q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：(IMO-12)
分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知
r1rr·2=. q1q2qOD=OA′·sin
A'2
sinB' =A′B′·2A'sin?A'O'B'·sin2 sinA'B' =A′B′·
2?sin2sinA'?B'， 2cosA'cosB'O′E= A′B′·
22. sinA'?B'2∴
ODO'E?tgA'2tgB'2. 亦即有
r1q·r2=tgA?CMA1q22tg2tg?CNB2tgB2 =tgA2tgBr2=q. C'OA'...EDB'O'
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条
对角线交于一点；
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的
内心.从而有ID=CD=DE，
IF=EF=FA， IB=AB=BC.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有：
..Erdos BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS).
AFBQSCIPE 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI)
≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一点两心.
D例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 CD交AM于G，G必为△ABC重心. 连GE，MF，MF交DC于K.易证：
111DG:GK=DC:(?)DC=2:1.
323BDAEGOKCF ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.
例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.
求证：OI丄DE，OI=DE.
(1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，
∠AID=∠AIB=∠EIB. 利用内心张角公式，有
1 ∠AIB=90°+∠C=105°，
2BAIFD30°COEK ∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+ =30°+ =30°+ =
1∠DAO 21(∠BAC-∠BAO) 21(∠BAC-60°) 21∠BAC=∠BAI=∠BEI. 2 ∴AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK， ∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.
例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三
边距
离和为d重，垂心到三边距离和为d垂. 求证：1·d垂+2·d外=3·d重. 分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
半径为1，三个内角记为A，B， C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
=cosA+cosB+cosC，
∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3. ∴3d重=△ABC三条高的和
=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ② ∴
BH=2，
sin?BCHBH3G3O3OIGH1AO2G2H2CO1G1
∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③， 须
证
(cosB
·
cosC+cosC
·
cosA+cosA
·
cosB)+(
cosA+
cosB+
cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.
练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)
2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.
5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7) 6.△ABC的边BC=
1(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N2三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.
9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.