教育类考试资料 x222?y2?141?k44k2222联立方程{4得x2?. ,yA?,?OA?xA?yA?A2221?4k1?4k1?4ky?kx??将上式中的k替换为?1,得 kOC?241?k2k2?4??,S?ABC?2S?AOC?OA?OC?41?k21?4k2???4?1?k??241?k2??2k2?4?1?4k??k2?4?.
?1?4k2k2?4???1?4k??k??22?42??5?1?k?,S22?ABC?8,
5当且仅当1?4k2?k2?4,
即k??1时等号成立，此时?ABC面积最小值是
8. 5882?,??ABC面积最小值是,此时直线AB的方程为y?x或y??x.
5518.
x2y2222（Ⅰ）依题，令椭圆E的方程为2?2?1,?a?b?0?c?a?b?c?0?，
ab所以离心率e?c1?，即a?2c. a222x0y0令点A的坐标为?x0,y0?，所以2?2?1，焦点F1??c,0?，即AF1?ab?x0?c?22 ?y02b2x0c22c2?x?2cx0?c?b?2?x?2cx?a?x0?a，（没有此步，不扣分） 020aaa2022因为x0???a,a?，所以当x0??a时，AF1min?a?c， 由题a?c?1，结合上述可知a?2,c?1，所以b2?3，
x2y2于是椭圆E的方程为??1.
43（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1??1,0?，如图，直线AB不能平行于x轴，所以令直线的方程为
x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?
6
教育类考试资料 ?3x2?4y2?12?0联立方程，?，
x?my?1?22得3m?4y?6my?9?0，
??所以，y1?y2?6m?9,yy?. 123m2?43m2?4若ABCD是菱形，则OA?OB，即OAOB?0，于是有x1x2?y1y2?0， 又x1x2??my1?1??my2?1??my1?m?y1?y2??1，
22所以有m?1y1y2?m?y1?y2??1?0，
???12m2得到?0，可见m没有实数根，故ABCD不能是菱形. 23m?4
（Ⅲ）由题S即SABCD?4S?AOB，而S?AOB?1OF1y1?y2，又OF1?1 22ABCD?2OF1y1?y2?2?y1?y2??4y1y2，
由（Ⅱ）知y1?y2?6m?9,yy?. 12223m?43m?4所以，SABCD?236m2?36?3m2?4??3m2?4?2?24m2?1?3m2?4?2?24， 19?m?1??2?6m?1211ft?9t?,t??1,???，在t?1时，f?t?min?10， 因为函数??t即SABCD得最大值为
6，此时m2?1?1，也就是m?0时，
这时直线AB?x轴，可以判断ABCD是矩形. 19.
(1)据题设分析知，点P的轨迹C是以点F?1,0?为焦点，直线l1:x??1为准线的抛物线，
7
教育类考试资料 所以曲线C的方程为y2?4x.
(2)设P?x0,y0?，点M??1,m?，点N??1,n?， 直线PM的方程为y?m?y0?mx?1?x?1?， 0化简，得?y0?m?x??x0?1?y??y0?m??m?x0?1??0， 又因为?PMN内切圆的方程为x2?y2?1． y?m?x所以圆心?0,0?到直线PM的距离为1，即0?m0?1??y20?m????1x，
0?1?2所以?y2221??m2?x20?m?+?x0?1???y0?m??2m?y0?m??x0?0?1?，由题意，得x20?1，所以?x0?1?m?2y0m??x0?1??0.
同理，有?x20?1?n?2y0n??x0?1??0，
所以m,n是关于t的方程?x20?1?t?2y0t??x0?1??0的两根，
所以m?n??2y0??x0?1?x,mn?因为 0?1x0?1所以MN=m?n??m?n?2?4mn?4y20?x0?1??x0?1?2?4x0?1.
因为y20?4x0,y0?2x0， 所以MN=?16x0?x0?1?x20?4x0?1?x0?1?2?4x0?1?2?x2.
0?1?直线PF的斜率k?y0x，则k?y0x=2x0，
0?10?1x0?1k1所以MN?x0x2?0?4x0?1x1. 0?x?40因为函数y?x?1x在?1,???上单调递增，所以当x0?1时， x0?1x?0，0 8
教育类考试资料 所以
0?11?0?14，所以x0??4x011?1， x0??42x0k1?1?
?.所以所以0?的取值范围是?0,?. MN2MN?2?
20.
（1）f??x??2ax?b?1?lnx，
所以2a?b?1?3且a?b=1， 解得a=1， b?0 （2）由（1）与题意知k?kf?x??g?x?x?2?x?xlnx对任意的x?2恒成立，
x?2x?4?2lnxx?xlnx?hx???(x?2)，则设h?x??， 2x?2x?2??令m?x??x?4?2lnx(x?2)，则m??x??1?所以函数m?x?为?2,???上的增函数. 因为m?8??4?2ln8?4?2lne?4?4?0，
22x?2??0， xxm?10??6?2ln10?6?2lne3?6?6?0
所以函数m?x?在?8,10?上有唯一零点x0，即有x0?4?2lnx0?0成立， 所以x0?4?2lnx0?0
故当2?x?x0时， m?x??0，即h??x??0；当x0?x时， m?x??0，即h??x??0 所以函数h?x?在?1,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增
所以
h?x?min?x?4?x0?1?0x0?x0lnx02????x0
?h?x0???x0?2x0?12所以k?x0x，因为x0??8,10?，所以0??4,5?，又因k?Z 22所以k最大值为4 21.
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教育类考试资料 （1）当
时，直线的倾斜角为120?，所以：
解得： a?2,c?1?b?3，所以椭圆方程是：（2）当m?0时，直线l： x?1，此时，据此 可得
，
；
，，又A点坐标是，
，故以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6．由此猜测
当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F2，被x轴截得的弦长为定值6． 证明如下：设点M,N点的坐标分别是?x1,y1?,?x2,y2?，则直线AM的方程是：
，所以点P的坐标是
，同理，点Q的坐标是
，
由方程组 得到：，
所以：， 从而：
=0，
所以：以22.
为直径的圆一定过右焦点，被轴截得的弦长为定值6．
131（1）由c?1有B(0,1),H(0,),M(,)
222x2y2设E：2?2?1(a?0,b?0),M在E上，
ab 10
教育类考试资料 ?a2?b2?1?21则??a???2?3?4a?1解得? E:2x2?2y2?1 24b2?1???b2?12（2）F1(?c,0),B(0,c),H(0,c),M3cc2(2,2) 22?a2?b2设Ey??c2xa2?b2?1(a?0,b?0),?2,即3e4?8e2?4?0?3c2c?4a2?4b2?1e2?2或e2?23(舍),?e?2为常数
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