机械工程测试技术基础第三版课后题答案
机械工程测试技术基础第三版课后题答案
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)?n????Cen??jn?0t;n?0,?1,?2,?3,???
式中： T0T00??11?jn?t?jn?t?jn?0t0022 Cn?x(t)edt?(?A)edt?AedtTT0?0T0?20T0???2 ?T0 021??A?jn?0t?1?A?jn?0t? ??ee????T?jn?T?jn?T0?00?0??0?0
2
?jAjA1?jn?Ajn??1?cosn?????e?e??j
n?n?2n?
2A? ??j;n??1,?3,?5,?????n? ?n??2,?4,?6,????0;
所以： ??2A?jn?0t? x(t)?;n??1,?3,?5,?7,?????j?en??n????
幅值频谱：
2A22Cn?CnR?CnI?;n??1,?3,?5,???
n?
相位频谱： ?2A????????;n?1,3,5,??? CnIn????2?n?arctg?arctg? CnR0???;n??1,?3,?5,?????? ???2
傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms
解：
T 1T02x2??x?limx(t)dt?x0sin?tdt?0;式中：T0?T??0 T00??
1T021T0x02??x?x(t)dt?xsin?dtdt?rms0 T00T002
1.3求指数函数 x ( ? Ae ? ? t; ( ? ? 0 ; t ? 0 ) 的频谱。 t) 解：
???? ?j2?ft??t?j2?ft ??0
??????????X(f)??x(t)edt??Ae?eAdt???j2?f1
Bbbbbb
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1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:
令:
x1(t)?lime??0??tx(t);X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt0??t????t?j2?ft??lim??e(?1)edt??ee?j2?ftdt??0??0????1?j?f
2)单位阶跃函数的频谱:
2??0
x(t)?lime??tx(t)?j2?ft;????t1?j2?ft??dt?lim??eedt??0??0??j2?f 22
1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。
?cos?0t;t?T x(t)??t?T ?0;解：
???T?j2?ft X(f)?x(t)edt?cos2f0te?j2?ftdt???T
?T1?j2?f0tj2?f0t?j2?ft?e?eedt
?T2 ?sin(f?f0)2Tsin(f?f0)2T??T?? ?(f?f0)2T??(f?f0)2T
?Tsinc?1?sinc?2
X(f)??x(t)e??????????????Bbbbbb
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t1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( ? e ? ? sin ? 0 t ; ( ? ? 0 , t ? t)0 ) 的频谱 解：
?j2?ft???? ?j2?ft??t 0??0
???j2?f0tj2?f0t??t?j2?ft
0
00
1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。
在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？ ?????j2?ft?j2?ft解：
0 ????
??
?j2?f0tj2?f0t?j2?ft
??
00
当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象
1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x)
X(f)??x(t)edt???esin2?fte?dtj??e?e?eedt2?j?11?????2???j2?(f?f)??j2?(f?f)????X(f)??x(t)e??dt???f(t)cos2?ft??edt?1f(t)?e?2??e???e??dt11?F(2?f?2?f)?F(2?f?2?f)22
解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ 等式两边对x求导数：
x0)
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1 dtx011?? dx?222?x?x(t)0?x(t)?00 1???x?? ?0? 1?Tx?12?tp(x)?limlim?lim? ?x?0?x?T??T??x?0?xT??
2dt1??? 22Tdx?x0?x(t)
2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值
误差将是多少？
解：H????1j???11?1Y???? 0.35?j?1X????1?0.7??1???7??2 A????1??0.35??2
当T=1s时，A??1??0.41，即AY?0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A??2??0.67，误差为33% 当T=5s时，A??3??0.90，误差为8%
2.3求周期信号x?t??0.5cos10t?0.2cos100t?45，通过传递函数为H?s?????10.05s?1的装置后所得到的稳态响应。
解： 利用叠加原理及频率保持性解题
x?t??0.5sin10t?90?0.2sin100t?45
?????? A????11?????2?11??0.00?5?2 ，??????arctg?0.005??
?1?10，A??1??1，???1??2.86?
x?t1??0.5?1?sin10t?90?2.86 ，
????
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?2?100 ，A??2??0.89 ，???2???26.57?
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y?t2??0.2?0.89?sin100t?26.57??45?
?y?t??0.5sin10t?87.14??(?0.178)sin100t?18.43?
2.7将信号cos?t输入一个传递函数为H?s??在内的输出y?t?的表达式。
解： x?t??cos??t??sin?t?90? H?s????????1的一阶装置后，试求其包括瞬态过程2s?1??11，A????，???arctg????
2?s?11????? y?t??11?????11?????22sin?t?90??arctg???? cos??t?arctg???
?? =
2.8求频率响应函数
3155072的系统对正弦输入2?1?0.01j??1577536?176j?????x?t??10sin?62.8t?的稳态响应的均值显示。
解： 写成标准形式 H?????j???j???1??2a??n2?2??n?j????2n?2
?1256?1 ???2 22?0.01j??1????2?1256??j????1256??? ∴ A????11??62.8?0.01?2?12?2
??62.8?2?1761??????1256??????1577536 ?1.69?0.99?1.7 对正弦波，ux?A2?1.7?102?12
241?n1.52.9试求传递函数分别为2和2的两个环节串联后组2222S?1.4?nS??nS?1.4?nS??n成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） Bbbbbb
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