线性代数习题库
第一套
一. 填空题(每小题3分,满分30分)
????1?m,?1?2?2?3?n,则
1. 设?1,?2,?3,?1,?2都是4维列向量,且4阶行列式124阶行列式
?5?A??4?6?2x4?3??1???4????4??相似于对角阵?A?18,则
2???3??,则x? *?3?2?1??1??2??_______________。
9.设A为3阶方阵,A为伴随矩阵,*?,?,???,??,??1??A??3??1?8A=___________
2. 已知123线性相关,3不能由12线性表示则12线性__________ 10.设
3. 设A是m?n阶矩阵 ,B是n?s阶矩阵,,R?A??r,且AB?0,则R?B?的取值范围是
________________
?12?1?4.设A是4?3矩阵,且A的秩R?A??2且
A???3x?2???102?
??5?41??
B???020??是不可逆矩阵,则x?____________
二 (8分)计算行列式
?
??103??
1?x111则R?AB??__________- 11?x115.设0是矩阵
111?y1?一.
1111?yA??101??
?020?
?
?10a?? 三.(8分) 三阶方阵A,B满足关系式:AB?E?A2?B,且
的特征值,则a?_____________.
?101?f(x22226.设
1,x2,x3)?x1?kx2?kx3?2x1x2是正定二次型, A???020???则t的取值区间为
?101??,
7.矩阵
求B.
?104?
A??四.(10分)设
?02?1????1??1,?1,2,4?,?2??0,3,1,2?,
?4?13??
对应的二次型是_______________
?3??3,0,7,14?,?4??1,?1,2,0?,8. 设
求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数k取何值时, 方程组
1
?5??2,1,5,6?
无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.
?x1???x1?x?1???x2kx2x2???kx3x32x3???4k24. 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则
A= ?45.
11111111T
与向量组α1= (2,2,2,2) , α2= (2,2, -2, -2)T ,
六. (16分)求正交变换X?PY,将二次型
f?x1,x2,x3??x?4x?4x?4x1x2?4x1x3?8x2x3化为
2122231111α3= (2, -2,2, -2)T ,都正交的单位向量α4=
标准形,并写出其标准形.
七. (8分)设A,B都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值.
八. (8分)设向量组A:?1,?2,?,?m线性无关,向量?1可由向量组A线性表示,而向量?2不能由向量组A线性表示.
证明:m?1个向量?1,?2,?,?m,l?1??2必线性无关.
第二套 一. 填空题 (每小题3分，满分30分)
9.
100085007602003=
β
1
6.
A是3×4矩阵，其秩rank?A?=2, B=
?1??0???2?010??0????2??1, 则rank?BA?= _____
7. 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用
,β2 ,α表示Ax=b的通解为 。
8.
向量组α1= (1, 1 , 1)T , α2= (1, 2 ,4)T , α3= (1, a , a2)T 线性无关的充要条件为a≠
且a≠ 。
设可逆方阵A的特征值为λ，则kA-1的特征值为
。
10. f(x1, x2, x3)
。
= x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型，则a的取值范围为
1. 2.
4 已知α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且A =αβT , 则A4 = 。
A二.（10分）计算n阶行列式
3. 设A、B为4阶方阵，且=2，
3B=81，则
AB=
2
Dn =
1?1?120?2330............?1?2?3...0nn?1n?1n?1nnn 的系数行列式
A=0，A的某一元素akj的代数余子式Akj≠0， 证明:
x = (Ak1 , Ak2 , … , Akn)T为此方程组的一个基础解系。
八、（16分）求正交矩阵P，将二次型 f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1x2+4x1x3-4x2x3 化为标准形并写出此标准形。 ?1?2?3...?(n?1)0
三.（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2B = A + B – E ，其中A =
??101? ?0?20? ???303?? ， E为3阶单位矩阵，求矩阵B。
四.（8分）确定a、b的值，使矩阵A=
?111? ?111?3a? ?32?? ?01263?
?543?1b??
的秩为2。
五.（10分）设α 1= (1, 0, 2, 1)T , α2= (1, 2, 0, 1)T , α 3= (2, 1, 3, 0)T , α4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量组的秩及一个极大无关组。
六. 六. （8分）设α1 ,α2 , … ,αn ,α
n+1
线性相关，而其中任意 n个向量均线性无关，证
明:
一. 必存在（n+1）个全不为零的数k1 ,k2 ,…, kn ,kn+1 使 得 1.
k1α1 + k2α2 + … + knαn + kn+1α
n+1
= 0
七、（10分）设齐次方程组
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 , … …
a n1x1 + an2x2 + … + annxn = 0 ,
3
第三套 填空题 (每小题3分，满分30分) 1111方程?2x3122x4?0的根x?___,___,_____.334x
2. ??1?设???0???,?102?,矩阵A???,则R(A)?________.??1???0?
??2??
3. 设A、B为4阶方阵，且A??2AB)T)?1?_________，
B?3((，则
4. 设A相似于单位矩阵,则A?______.
5. A是4?3矩阵，其秩rank?A?=1,
??1002?B???3580?????1000??
??0300??, 则rank?BA?= _____ 6.
??123?设A??2t1?????132?,且方程组Ax?0有非零解,则 t?_________.??
??21?1??
7.设方阵A有一特征值为λ，则
f?A??a0E?ar1A???arA的特征值为 。 8.
f?xx?21???1,2???x1x2????31???x1???___________.?x?的对应矩阵是2?
9.
?110?A???1k0??是正定矩阵,则k满足的条件是______________.?
?00k2??
10.已知四元非齐次线性方程组Ax?b,R(A)?3,?1,?2,?3是它的三个解向量,其中?1,1,0,2?T,?,0,1,3?T1??2??2??3??1则该非齐次线性方程组的通解_________
二.?10分?计算n阶行列式
1?a11?1D1?a2?1n?1其中??a1a2?an?011?1?an
??4?31?0?1?三.(8分)已知A????5?31????1?,B?210??,且XA?B,求X.??64?1????01?1??4
四..?10分?已知?1??1,0,2,3?,?2??1,1,3,a?,?3??1,?1,1,1?,?4??1,2,6,7?TTTT 第四套 一.填空题(每小题3分,满分30分)
问a为何值时,向量组?1,?2,?3,?4线性相关,并求它的一组最大线性无关组.
?11.设矩阵A???x2??2，B????1??1y??，且AB?BA，则x?________，y?______。0??2???x?2x?2x?1??a1b1?2.设矩阵A?a2b1a1b2a2b2a1b3???i?1，a2b3，ai?0，bi?0，2，3?，则r?A??________。五?12分?设?123?2x1??5???x2?4x3?2???2x1?4x2??5???x3????1问?为何值时，此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解。
六?16分?已知二次型f?x2221,x2,x3??2x1?3x2?3x3?2ax2x3?a?0?通过正交变换化成标准形f?y2?2y2?5y2123，求参数a,及所用的正交变换
七?8分?.设A为三阶方阵,有三个不同的特征值?1,?2,?3,对应的特征向量?21,?2,?3,令???1??2??3,证明:?,A?,A?线性无关.
????a3b1a3b2a3b3??
3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，且A?a?0，则A*?_______。
4.设向量?1??1,?2,3?，?2??0,2,?5?，?3???1,0,2?，?4??4,5,8?，则?1,?2,?3,?4线性_______?关。5.设A是3阶矩阵，A有特征值?1?0，?2??1，?3?1，其对应的特征向量分别为??P????12，?3，设1,?2,?3?，则PAP?_________。6.设A为m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解充分必要条件是________。
7.已知：f?x221,x2,x3??x1?4x3???x22?2x1x3?是正定二次型，则?的取值范围为_______。
8.设3阶方阵A的列分块矩阵为A???1,?2,?3? ,a,b是数,若?3?a?1?b?2,则A?______。
9.设不含零向量的n元向量组?1,?2,?,?m是正交向量组,则m与n的大小关系为_________。
10.设有一个四元非齐次线性方程组Ax?b，r?A??3，?1,?2,?3为其解向量，且??1????1?????9????9?1??，?23???为_____________。?9???9，则此方程组的一般解?????7?8??二.(8分)计算n阶行列式
5