k?a1a1?a2a2D??a3a3???an?1an?1
111?11
三．(8分)已知矩阵X满足关系式： T 其中
XA?B?3X
A??4?3??30???21?,B?2
???0?14??,
求X。
四．(10分)设向量组
?T1??0,0,1,k?T,?2??0,k,1,0?,?3??1,1,0,0?T,?4??k,0,0,1?T
问(1)k为何值时，向量组线性无关。 （2）
为何值时，向量组线性相关，并求其秩及一个极大无关组。五．(14分)对参数?讨论方程组
??x1?x2?x3????x1??x2?x3?1? ?x1?x2??x3??
的解,有解时,求出其无穷多解。 六．(16分)设
?1?2?2?A???2?3?2??
???221??
求可逆矩阵P使得??P?1AP为对角矩阵，并求Ak。
七. (8分)设?1,?2,?3为3维欧氏空间V的一组标准正交基，
?12? 1?13???1?2?2?2?3?,?2?3?2?1?2??3?,?3?13??2?1??2?2?3?
证明：?1,?2,?3也是V的一组标准正交基.。
八.(6分)已知矩阵A与B相似，其中
?200??200?A???001??,B???0y1??
??01x????00?1??
求x和y。
第五套
一.填空题(每小题3分,满分30分)
x1231.设f(x)?3x1223x1,则f(4)?________。123x
2.已知??8是矩阵
?324?A???2a2??
??423??
的一个特征值，则a?_____________．
3.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，A?13,则??3A*?T??1?_______。
4.设???3,5,7,9?，????1,5,2,0?,x满足2??3x??,则x?_______.
5已知向量
α1,α2,α3线性无关，则向量组
α1?α2?3α3,?α1?α2?2α3,α1?kα2?4α3
线性无关的充分必要条件为k____________．
6
6.设A为m?n矩阵，非齐次线性方程7.已知：f?x1,x2,x3则k的取值范围为组Ax?b无解的充分必要条件是2________。
??x1?x2?x3?k?x1x2?x1x3?x2x3?是正定二次型，22_______。
8.设??3是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵3(A)?T3?1?有一个特征值等于 .
?x1?3x2?x3?0,??3x1?2x2?3x3??1??x?4x?mx?k123?
(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?在有解时写出其通解.
9.已知向量组?1??1,2,3,4?,?2??2,3,4,5?,?3??3,4,5,6?,
?4??4,5,6,t?,但秩??1,?2,?3,?4??2,则t?______。10.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零
,且A的秩为n?1,则线性方程组六.?16分?设实二次型AX?0的通解为_____________。二.(8分)计算行列式
0y0xD?x0y00x0y
y0x0
三（8分）已知三阶矩阵B满足关系式 其中AB
?A?2B
?423?A???110??
???123??,
求B.
四（10分）求矩阵A的秩，其中：
?x111??A??1x11???11x1??
?111x??
五（14分）(14分)m,k,为何值时,方程组
f?x,x??2x222
12,x31?5x2?2x3?2x1x2?4x1x3?2x2x3求正交变换X?QY,化二次型为标准形.
七（8分）
已知三阶矩阵A有三个特征值2,1,?2.B?A3?3A2.(1)求B的特征值.(2)求B?10E
八.(6分) 设?1、?2是A的特征值，且?1??2，?1、?2是A对应的?1、?2的特征向量，证明?1、?2线性无关。
第六套
一.填空题(每小题3分,满分30分)
1.设A,B,C为n阶方阵,且ABC?E,则2CAB?________。
2.若A与kE相似,则A?________.nn3.设?n1,?2,?,?n是R的一个标准正交基,?1??xi?i,?2??yi?i,则内积i?1i?1??1,?2??_______.4.已知A??121??12??1??101?,B????1?,则AB?_______,BA?_______.??11??
??1,1,2,1?T,?TT7
5.已知向量组?12??1,0,0,2?,?3???1,?4,?8,k?线性相关,则k?_________.
6.设?1,?2为非齐次线性方程组2Ax?b的两个解,则?1??2是________227.已知：f?x1,x2,x3??x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型，则ax1?x2?x3?1,??的解。x1?ax2?x3?1??(2a?1)x?3x?(a?2)x?3123 ?
六.?16分?设实二次型?的取值范围为_______。?1
(1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解?在有解时写出其通解.
8.设???2是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵A?A有一个特征值，等于
9.设A??aa?1b11b2??a2b1a?,则r?A??______。2b2?
?a11??x10.已知线性方程组?1??1??1a1????x???2???1?有无穷多解??11a????x3?????2??
二.(8分)计算行列式
2141D?3?1211232
5062
三．(8分)解矩阵方程
?11?1??1?11?X??022?????110????0?10????211?? 四．(10分)设向量组
?1??1,1,1,1?,?2??1,2,1,0?,?3??2,3,2,1?, ?4??1,2,3,0?,?5??1,2,4,1?求该向量组的秩及一个极大无关组.
五．(14分)问a为何值时,方程组
,则a?___.f?x2221,x2,x3??2x1?5x2?2x3?2x1x2?4x1x3?2x2x3求正交变换X?QY,化二次型为标准形.
七.(8分)
设四阶方阵A相似于B,A的特征值为2,3,4,5,求B?E
八.(6分)
设A、B为n阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)?n （n?1）
8