第5章 （之1） 第23次作业
教学内容：§5.1定积分概念 5.2定积分的性质
1．选择题
*（1）定积分所表示的和式极限是 （ ）
b?an(A)．lim?n??ni?1nn??i?1nb?an?i?f?(b?a)? (B)．lim?n??nni?1???i?1?f?(b?a)??n?
(C)．lim?f(?i)?xi (?i??xi?1，xi?)(D)．lim?f(?i)?xi (??max??xii?1，2，?n?，?i??xi?1，xi?)??0i?1答:D
*（2） 设：Iba
??f(x)dx，据定积分的几何意义可知 （ ）
(A)．I是由曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴所围图形的面积，所以I?0． (B)．若I?0，则上述图形面积为零，从而图形的＂高＂f(x)?0． (C)．I是曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴之间各部分面积的代数和． (D)．I是曲线y?f(x)及直线x?a，x?b与x轴所围图形的面积。 答:C
*（3） 函数f(x)在闭区间a，b上连续是f(x)在a，b上可积的 （ ）
???? (A)．必要条件 (B)．充分条件答: B
*（4） 由 (C)．充分必要条件 (D)．既非充分也非必要条件．
?a，b?上连续曲线y?f(x)，直线x?a，x?b(a?b)和x轴围成图形
的面积S? （ ）
bbb?f(b)?f(a)?(b?a) (A)．f(x)dx (B)．f(x)dx (C)．f(x)dx (D)．. ?a?a?a2答: C
**（5） 设在区间a，b
? ?上f(x)?0，f?(x)?0，f??(x)?0，令S1??af(x)dx，b1?f(b)?f(a)?(b?a)，则有 （ ）2 (A)S1?S2?S3； (B)S2?S1?S3； (C)S3?S1?S2； (D)S2?S3?S1. S2?f(b)(b?a)，S3?答: B
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???*2. 试证不等式：
4??202?sinxdx?2.
证明：0?sinx?1， x?[0,?sinx2]， ?12?2??1， ???1???sinx4??2dx??20202dx??2?01dx?2.
**3. 试估计下列积分值：
?1dx0。
1?x?x2解：当0?x?1时， x?x2?14?(x?112)2?4， 且
14?(x?12)2?0， ?1?1?x?x2?1?132?2， 因而有 23?11?x?x2?1，
从而 23??1dx01?x?x2?1.
第5章 （之2） 第24次作业
教学内容：§5.3微积分基本定理 1．选择题
**（1）
dbdx?aarctanxdx? (A)．arctanx； (B)．11?x2；(C)．arctanb?arctana；(D)．0答: D
**（2） 设f(x)为连续函数，且F(x)??1nx1f(t)dt，则F?(x)等于 x (A)．111xf(lnx)?x2f(x)； (B)．1xf(lnx)?f(1x)； (C)．1111
xf(lnx)?x2f(x)； (D)．f(lnx)?f(x)．答: A **（3） 设y??x(t?1)3dy0(t?2)dt，则dx? x?0 (A) 2； (B) ?2； (C) ?5； (D) 5．
答: A
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） （ ）
）
（
（***（4）设f(x)??1?cosx0x5x6sintdt，g(x)??，则当x?0时，
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f(x)是g(x)的 （ ）
(A) 低阶无穷小； (B) 高阶无穷小； (C) 等价无穷小； (D) 同阶但不等价无穷小．
答: B
***（5）设函数f(x)在?a，b?上连续，且f(x)?0，则函数
xx1F(x)??f(t)dt??dt在(a，b)内零点的个数必为 （ ）
abf(t) (A) 0； (B)1 ； (C) 2； (D) 无穷多． 答: B
?x(et2?1)dt??0，x?0 ***（6） 若f(x)?? 则f?(0)? （ ） 2x?0 ，x?0? 12 (A)1； (B)； (C)； (D)0．
33 答: B
**2.设已知f(x)是个连续函数，而?(x)及?(x)均为可微函数，若记F(x)??(x)(x)??f(x)dx，
试证 F?(x)?f(?(x))???(x)?f(?(x))???(x)。 证明：F(x)?
**3.若 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，问 F(2x?1) 是什么函数的原函数？
???(x)(x)f(x)dx ???(x)x0f(x)dx???(x)x0f(x)dx，
?F?(x)?f(?(x))???(x)?f(?(x))???(x).
解：由条件 F?(x)?f(x)，
?(F(2x?1))??F?(2x?1)?2?2f(2x?1)， ?F(2x?1)是2f(2x?1)的一个原函数.
**4.x??cos(u)du，y??e00t2t1?u2du，试求
dy. dxt?0dy解：
dxt?0
dy1?t2dtt?0?e????cost2dx?dtt?0???e. ??t?012t2**5.设函数y?y(x)由方程 解：为方便，将方程
?yxedt?1 所确定，试求y?(x)及y??(x)。
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?yxe12t2dt?1 化为 ?e0y12t2dt??e0x12t2dt?1，
x2?y2?e2， x2?y2y?e2两边关于x求导数
12y2e12x2y?(x)?e?0， ?y?(x)x2?y2e2x2?y2 y??(x)?e2(x?y?y?(x))?(x?)?x2?y2xe2?yex2?y2.
6．求下列极限：
2??1udu***(1) lim；
x?1ln(2x?x2)xsin2??2?2?2?cos?2sinxx?limx＝limx?? 解： 原式＝limx?12?2xx?12?2xx?1?22x?x2sin ***（2）limxx??1x02t?(1?sin2t)dt；
解：limxx???1x0(1?sin2t)2t?dt?limx??1x0(1?sin2t)dt1x2t0() 011[1?sin(2?)]2x(?2)xx?exp{lim[(1?sin2)?1]?2x} ?limx??x??1x?2xsin ?exp[lim4(x??2x2x)]?4e.
***(3)
lim?xx???x?1xx?14t2?1dt. tln(1?e)4?2?1ln(1?e)[(x?1)?x]?() ?解：limx????4t2?1dt?limtx???ln(1?e)? 66
?????lim?4???2?[1?ln(1?e?1??)]?2.
其中，第一个“=”利用了“积分中值定理”.
***7.若f(x)是[a,b]上单调增加的连续函数，试证明函数F(x)?单调增加。 解： F?(x)?xx1f(t)dt在(a,b]上?ax?af(x)?(x?a)??f(t)dta(x?a)2，
由中值定理可知：???[a,x]，使
?af(t)dt?f(?)(x?a)，
x?F?(x)?
[f(x)?f(?)]?0， (x?a)， 因此 F(x) 单调上升.
(x?a)I?x???xlnt2dt在区间e，eet2?2t?1lnxlnx2解: 由I?(x)?2 ??0，x?e，e2x?2x?1(1?x)***8. 求函数??上的最大点．
??知I(x)在[e，e2]上单调增加，所以 x?e2时，I(x)取得最大值，即
x?e2 为最大点。
e2e2e21lnte21lnt??lntd()???（ maxI(x)?dte?e?e(t?1)tdt ?e(t?1)2e?x?e2t?1t?112t?1e2e1e?1???ln?ln(1?e)???ln ). ee?1e2?1t1?ee?1e
****9.设函数f(x)在[a,b]可积，试证明?(x)??x?0?xaf(t)dt在[a,b]上连续.
证明：待证 lim?(x??x)??(x)， 即证 lim[?(x??x)??(x)]?0，
?x?0?(x??x)??(x)??x??xaf(t)dt??f(t)dt ??axx??xxf(t)dt，
由于f(x)可积，故f(x)有界，可设f(x)?M，x?[a,b]，
??(x??x)??(x)?M?x, 当?x?0，
?lim(?(x??x)??(x))?0.
?x?0[注：当x?a或b，则考虑单侧极限，可类似证明].
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***10.设函数f(x)在[a,b]可积，试证存在??[a,b]使成立证明：记F(x)???a1bf(t)dt??f(t)dt.
2a?xaf(t)dt，则由上题知F(x)在[a,b]上连续，
1b设G(x)?F(x)??f(t)dt，则G(x)也在[a,b]上连续。
2a1b1bG(a)???f(t)dt， G(b)??f(t)dt，
2a2a若
?babf(t)dt?0，则取??a（或b）可使结论成立.
21?b?f(t)dt?0， 若?f(t)dt?0，则G(a)G(b)???a??a?4?则由连续函数零值定理知 ???[a,b]， 使 G(?)?0，
?1b1b?f(t)dt?f(t)dt. 即F(?)?， f(t)dt???aaa22
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