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A级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)． 答案 C
2．(2012·银川模拟)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为( )． 57
A.2 B.2 C．2 D．3
解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝pp5x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，
22257因此M到抛物线准线的距离为2＋1＝2. 答案 B
x2y2
3．设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． 55
A.4 B．5 C.2 D.5
b??y＝x，xyba解析 双曲线a2－b2＝1的一条渐近线为y＝ax，由方程组???y＝x2＋1
2
2
b
消去y得，x2－ax＋1
a2＋b2bc?b?2
＝0有唯一解，所以Δ＝?a?－4＝0，a＝2，e＝a＝a＝??答案 D
?b?1＋?a?2＝5. ??
4．(2011·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos
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∠AFB＝( )．
4334A.5 B.5 C．－5 D．－5
2
?y＝4x
解析 设点A(x1，y1)、B(x2，y2)．由题意得点F(1,0)，由?消去y得x2－5x＋4＝0，
?y＝2x－4
F→A ·F→B→→x＝1或x＝4，因此点A(1，－2)、B(4,4)，FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，cos∠AFB＝|F→A||F→B|＝
0×3＋?－2?×44
＝－5，选D.
2×5
答案 D
5．(2011·兰州模拟)已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，→→，则直线AB的斜率为( )． 若FA＝－4FB2334A．± B．± C．± D．±3243
解析 由题意知焦点F(1,0)，直线AB的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y24→→可得y＝－4y，③ ＝k，①y1y2＝－4，②又由FA＝－4FB124联立①②③式解得k＝±3. 答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
x2y2
6．(2011·北京东城检测)已知F1、F2为椭圆25＋9＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析 由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 答案 8
y27．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x－2＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，
2
P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
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222y12y2x1－＝1，x2－＝1，得
解析 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由
22
k＝
y2－y12?x2＋x1?2×4
＝＝2x2－x1y2＋y1
＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x－y－7＝0
8．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，－1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2，－2)，则直线l的方程为________． 解析 由题意知，抛物线的方程为x2＝－4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，联立方程
2
?x1＝－4y1，2得?2两式相减得x21－x2＝－4(y1－y2)， ?x2＝－4y2，
∴
y1－y2x1＋x2
＝＝－1， x1－x2－4
∴直线l的方程为y＋2＝－(x－2)，即y＝－x. 答案 x＋y＝0 三、解答题(共23分)
y2
9．(★)(11分)设F1，F2分别是椭圆E：x＋b2＝1(0＜b＜1)的左，右焦点，过F1的直线l与E
2
相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l与椭圆联立方程组，利用弦长公式求解． 解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 4又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝3. (2)l的方程为y＝x＋c， 其中c＝1－b2.
y＝x＋c，??
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组?2y2
x＋b2＝1，??＋1－2b2＝0.
化简得(1＋b2)x2＋2cx
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－2c1－2b2则x1＋x2＝，xx＝.因为直线AB的斜率为1，
1＋b2121＋b24
所以|AB|＝2|x2－x1|，即3＝2|x2－x1|.
4?1－b2?4?1－2b2?88b422
则9＝(x1＋x2)－4x1x2＝－＝，解得b＝
2. ?1＋b2?21＋b2?1＋b2?2错误!
x2y23
10．(12分)(2011·陕西)设椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为5. (1)求C的方程；
4
(2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的中点坐标． 解 (1)将(0,4)代入C的方程得
16
＝1，∴b＝4， b222
c3a－b9169
又e＝a＝5得a2＝25，即1－a2＝25，∴a＝5，
x2y2
∴C的方程为25＋16＝1.
44
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4
将直线方程y＝5(x－3)代入C的方程，得 x2?x－3?2＋＝1，即x－3x－8＝0. 2525
4412∴x1＋x2＝3，y1＋y2＝5(x1＋x2－6)＝5(3－6)＝－5. ∴
x1＋x23y1＋y26
＝，＝－2225. 2
6??3
即中点为?2，－5?.
??
B级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
x22
1．(★)直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆4＋y＝1截得的最大弦长是
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( )．
43
A．4 B.3 C．2 D．不能确定
x22
解析 (筛选法)直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆4＋y＝1的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A、C；将直线y＝kx＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B. 答案 B
【点评】 本题通过运动的观点，得到直线在各种位置下的情形，从而排除错误选项，得到正确答案，避免了冗长的计算.
2．(2011·四川)在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )． A．(－2，－9) C．(2，－9)
B．(0，－5) D．(1，－6)
解析 由已知得抛物线经过(－4,11－4a)和(2,2a－1)两点，过这两点的割线斜率k＝2a－1－?11－4a?
＝a－2.
2－?－4?
于是，平行于该割线的直线方程为y＝(a－2)x＋b. b236
该直线与圆相切，所以2＝. 51＋?a－2?
该直线又与抛物线相切，于是(a－2)x＋b＝x2＋ax－5有两个相等的根， b236即由方程x＋2x－5－b＝0的Δ＝0得b＝－6，代入2＝， 51＋?a－2?
2
注意到a≠0，得a＝4.所以抛物线方程为y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)． 答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
x2y23．(2012·揭阳模拟)过椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
解析 由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点