taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 6?aa?的坐标为?－2，2?，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝3. ??6
答案 3 x2y2
4．(2012·金华模拟)已知曲线a－b＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，→·→＝0(O为原点)，则1－1的值为________． 且OPOQ
ab
x2y2
解析 将y＝1－x代入a－b＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则a＋ab→→2a
x1＋x2＝，x1x2＝.OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.
a－ba－b所以
2a＋2ab2a
－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0， a－ba－b
11即b－a＝2ab，所以a－b＝2. 答案 2
三、解答题(共22分)
5．(10分)(2012·株洲模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ过定点．
(1)解 设抛物线C的方程为y2＝2mx， ?4x＋y－20＝0，由?2得2y2＋my－20m＝0， ?y＝2mx，∵Δ＞0，∴m＞0或m＜－160.
m
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－2， y1??y2?m?
∴x1＋x2＝?5－4?＋?5－4?＝10＋8. ????
?m?
再设A(x3，y3)，由于△ABC的重心为F?2，0?，
??
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x1＋x2＋x3m??3＝2，则?y1＋y2＋y3??3＝0，
11m
x＝?3?8－10，解得?m
y＝??32.
?m?2?11m???∵点A在抛物线上，∴2＝2m?8－10?. ????∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x.
(2)证明 当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0， 将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0，
22
16by2PyQb
∴yPyQ＝k.从而xPxQ＝162＝k2，
b216b
∴k2＋k＝0，∵k≠0，b≠0，∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点(16,0)； 当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ， ?y＝|x|，
∴△POQ为等腰三角形，由?2
?y＝16x，
得P(16,16)，Q(16，－16)，此时直线PQ过点(16,0)， ∴直线PQ恒过定点(16,0)．
6．(12分)(2011·福建)已知直线l：y＝x＋m，m∈R，
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由． 解 法一 (1)依题意，点P的坐标为(0，m)． 因为MP⊥l，所以
0－m
×1＝－1， 2－0
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)． 从而圆的半径
r＝|MP|＝?2－0?2＋?0－2?2＝22， 故所求圆的方程为 (x－2)2＋y2＝8. (2)因为直线l的方程为y＝x＋m， 所以直线l′的方程为y＝－x－m，
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?y＝－x－m，由?2得 x2＋4x＋4m＝0. ?x＝4yΔ＝42－4×4m＝16(1－m)．
(1)当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切； (2)当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．
法二 (1)设所求圆的半径为r， 则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2
4＋m2＝r2，
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则?
??|2－0＋m|
2＝r，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)同法一．
解得??m＝2，?r＝22.