几类数学建模问题的探讨
在数学问题中，我们往往需要如何有效解决各类让人难以琢磨的抽象函数问题，严谨、合理、择优地数学建模，让我们熟悉的、看得见的具体函数代言抽象函数，把抽象问题具体化，通过研究具体函数的图像和性质来解决问题。这种方法对选择题和填空题特别凑效，对解答题也起到提示思路的作用。下面我们就几类数学建模问题进行一下探讨。
1． 情境一：数学建模之对数函数的选取
问题：若一个非常数函数在(0,??)或其子区间上满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则选哪 类函数建模？
模型:f(x)?logax(a?0,a?1)
例1 函数f(x)在定义域(0,??)上满足f(x?y)?f(x)?f(y)，且有f(a)?1， （a?1)，若有不等式f(x)?f(3?x)?2恒成立，则实数a的取值范围是多少？
解：满足题意的模型可选为f(x)?logax(a?1)，问题转化为
?x(3?x)?a29logax?loga(3?x)?2(a?1)恒成立??,恒成立?a2?，因为a?1，
4?0?x?3所以a?3。 22． 情境二：数学建模之指数函数的选取
问题：若一个非常数函数在定义域上满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则选哪类函数建模？ 模型：f(x)?a(a?0,a?1)
例2 定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)f(y)，且有f(4)?16，若m,n 为互质整数，n?0，则f(xm)等于多少？ nmmmm解：显然f()?2n完全满足题意，那么函数f(x)就由它代言，即f()?2n
nn 3． 情境三：数学建模之正比例函数的选取
问题：若一个非常数函数在定义域上满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则选哪类函数建 模？
模型：f(x)?kx
例3 已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y?R，都有
f(x?y)?f(x)?f(y)且当x?0,f(x?)0成立，若f(3)??3，则f(x)在恒
[m,n](m,n?Z)上的值域是多少?
解：根据题意可以选择模型f(x)??x，那么题目答案就是[?n,?m]。
4． 情境四：数学建模之一次函数的选取
问题：若一个非常数函数在定义域上满足f(x?y)?f(x)?f(y)?B，则选哪类函数 建模？
模型：f(x)?kx?B
例4 函数f(x)对任意x,y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)?1，且当x?0时，
f(x)?1，若f(4)?5，则不等式f(3m2?m?2)?3的解集是多少？
解：根据题意可选用f(x)?x?1当函数模型，那么问题就转化为解不等式：
43m2?m?2?1?3，所以m的解集为{m|?1?m?}。
35． 情境五：数学建模之二次函数的选取
问题：若一个函数在定义域上满足f(A?x)?f(A?x)，则选哪类函数建模？ 模型：f(x)?k(x?A)2?B
例5 已知定义域为R的函数f(x)在(8,??)上为减函数，且函数y?f(x?8)为偶 函数，则（ ）
)f( 7 (A)f(6? (B)f(6)?f(9) ?f(9 (C)f(7) ) (D)f(7)?f(10)
22解：因为y?f(x?8)为偶函数，所以可设f(x?8)?kx即f(x)?k(x?8)，又因 2为f(x)在(8,??)上为减函数，所以可设k??1，即函数f(x)??(x?8)可以代言此题，
显然答案选(D)
6． 情境六：数学建模之三次函数的选取
问题：若一个函数在定义域上满足f(x?A)?f(A?x)?2B，则选哪类函数建模？
模型：因为从题意可看出函数关于点(A,B)对称，所以选用形如f(x)?k(x?A)?B 的三次函数作为函数模型最合适。
例6 若一个函数在定义域上满足f(x?1)?f(1?x)?4，判断函数f(x?1)的对称
3性。（ ）
(A)关于（1,2）对称 （B）关于（2,2）对称 (C)关于x?1对称 (D) 关于x?2对称
解：根据题意可以直接选用f(x)?k(x?1)3?2作为函数模型代言上述问题，则
f(x?1)?k(x?2)3?2，显然函数f(x?1)关于（2,2）对称，故选（B）
7． 情境七：数学建模之三角函数的选取 10种问题及其对应的模型：
（1） 问题：若函数在定义域上满足f(x?B)??1 f(x)模型：f(x)??tan(?2Bx??)
（2） 问题：若函数在定义域上满足f(x?B)?1 f(x)模型：f(x)??|tan(?2Bx??)|
（3） 问题：若函数在定义域上满足f(x?y)?模型：f(x)??tan?x
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)（4） 问题：若函数在定义域上满足f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y) 模型：f(x)?cosBx
（5） 问题：若函数在定义域上满足f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x?y)
模型：f(x)?AsinBx
（6） 问题：若函数在定义域上关于直线x?a和x?b都对称(a?b)
模型：f(x)?Asin(22?|a?b|x??)或f(x)?Acos(?|a?b|x??)
（7） 问题：若函数在定义域上关于两个点(a,0)和(b,0)都对称(a?b)
模型：f(x)?Asin(?|a?b|x??)或f(x)?Acos(?|a?b|x??)
（8） 问题：若函数在定义域上关于点(a,0)和直线x?b都对称(a?b)
模型：f(x)?Asin(?|a?b|x??)或f(x)?Acos(?|a?b|x??)
（9） 问题：若一个函数在定义域上满足f(x?B)??f(x)
模型：f(x)?Asin(?Bx??)或f(x)?Acos(?Bx??)
（10） 问题：若一个函数在定义域上满足f(x?B)?f(x)
模型：f(x)选周期为B的函数
例7 已知直线x?ab和x?(a?b)均为函数f(2x)(x?R)的图像的对称轴（这两22条直线间再无其他对称轴），求函数f(x)的最小正周期。
ab2?x??)满足 和x?都对称，f(2x)?sin(22a?b2??x??)，x??)，题意可作为函数模型，即f(x)的?f(2x)?sin(?f(x)?sin(a?ba?b周期为2a?2b
解：?f(2x)的图像关于直线x? 要注意的是，虽然选用具体函数代言抽象函数确确实实明朗了解题思路、简化了解题过程，为解题提供了捷径，但切记选用的函数模型一定要严格符合题目中的所有条件，这样才能合法代言，否则分析结果将是错误的。