18.（本小题满分12分）
x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点D(0,1)，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直.
ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；
1（Ⅱ）过M(0,?)的直线l交椭圆C于A,B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关
3系，并说明理由.
海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案2017.1
数学 (文科)
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.C 8.A
二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.
29. 2 10. ?x?1，x?2x?1?011.?3
12.213.214.①③④
三、解答题: 本大题共4小题，共44分.
15. 解：（Ⅰ）已知点A(?3,0)，B(1,0)，线段AB是圆M的直径， 则圆心M的坐标为??1,0?. --------------------------2分 又因为AM?2，--------------------------3分
所以圆M的方程为(x?1)2?y2?4. -------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M(?1,0)，半径为2. 设N为DE中点，则MN?l，|DN|?|EN|?-------------------------5分
则|MN|?1?23?3， 24?(3)2?1.--------------------------6分
当l的斜率不存在时，l的方程为x?0，此时|MN|?1，符合题意； -------------------------7分
当l的斜率存在时，设l的方程为y?kx?2，由题意得
|k(?1)?2|k?12?1--------------------------8分
解得k?3，--------------------------9分 4故直线l的方程为y?--------------------------10分
3x?2，即3x?4y?8?0. 4综上，直线l的方程为x?0或3x?4y?8?0. 16.解: 证明：（Ⅰ）如图,在正四棱锥P?ABCD中,
连接AC,设AC?BD?O，连接MO.--------------------------1分 因为ABCD为正方形，则O为AC中点. 又因为M为侧棱PA的中点，
所以MO//PC. --------------------------3分 又因为PC?面BDM，MO?面BDM， 所以PC//平面BDM.--------------------------5分
（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P?ABCD中，
OPO?平面ABCD，-----------------------6分 BD?平面ABCD，
所以PO?BD. ---------------------- 7分 又因为BD?AC，---------------------- 8分
AC?PO?O，
且AC?平面PAC，PO?平面PAC，
O所以BD?平面PAC.---------------------- 9分 又因为 PA?平面PAC，
所以BD?PA. ----------------------10分 由（Ⅰ）得MO//PC，
又因为PA?PC，则MO?PA.------------------11分
又MO?BD?O，且MO?平面BDM，BD?平面BDM， 所以PA?平面BDM. ---------------------- 12分 17解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称， 可设抛物线方程为y?2px，----------------------1分
由抛物线经过P(1,2)可得p?2. ---------------------- 2分
2所以抛物线方程为y2?4x，---------------------- 3分
准线方程为x??1. ---------------------- 4分
?y2?4x（Ⅱ）由?---------------------- 5分
y?x?
得?
?x?0?x?4或?---------------------- 7分
?y?0?y?4
可得A(0,0)，B(4,4).（或：AB?42）--------------------8分 所以S?ABP?1?2(2?4)(4?1)4?4???2. ---------------- 10分 222 ( 或：点P到直线y?x的距离d?1?22?2---------------- 9分 212S?ABP??42??2. ---------------- 10分 )
22x2y218．解：（Ⅰ）由椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过D(0,1)
ab可得b?1. ---------------------- 1分 因为一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，所以a?2.---------------------- 3分
x2所以椭圆C的方程为?y2?1. ---------------------- 4分
2（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D，理由如下：----------------------5分 当直线AB与x轴垂直时，显然D在圆上；----------------------6分 当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为y?kx?1. ----------------------7分 31?y?kx?,??3设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?2
?x?y2?1??2得9(2k?1)x?12kx?16?0，显然??0. ---------------------- 8分
22x1?x2?4k,3(2k2?1)x1x2??16---------------------- 9分
9(2k2?1)DA?(x1,y1?1),DB?(x2,y2?1).
所以DA?DB?x1x2?(y1?1)(y2?1)---------------------- 10分
?x?(kx441x21?3)(kx2?3)
?(1?k2)x4161x2?3k(x1?x2)?9
?(1?k2)??16?44k16??9(2k2?1)???3k?3(2k2?1)?9?0---------------------- 11分
所以DA?DB，所以点D在圆上. 综上所述，点D一定在以AB为直径的圆上.
---------------------- 12分