2015年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)
一、选择题（共8小题；共40分） 1. 抛物线 ??2=?2?? 的焦点坐标是 ( )
A. ?1,0
B. 1,0
C. 0,?
2
1
1
D. 0,
2
2. 如图所示，在复平面内，点 ?? 对应的复数为 ??，则复数 ??2= ( )
A. ?3?4i
B. 5+4i
C. 5?4i
D. 3?4i
= 1,0 时，执行如图所示的程序框图，输出的 ?? 值为 ( ) 3. 当向量 ?? =?? = ?2,2 ，??
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
4. 已知直线 ??1:????+ ??+2 ??+1=0，??2:??+????+2=0．若 ??1⊥??2，则实数 ?? 的值是 ( )
A. 0
B. 2 或 ?1
C. 0 或 ?3
D. ?3
2??????2≤0,
表示的平面区域为 ??，则区域 ?? 上的点到坐标原点的距离的最小值5. 设不等式组 ??+???1≥0,
?????+1≥0是 ( )
22
12
A. 1 B. C. D. 5
6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是 ( )
A. 2 34 B. 12
C. 8 3 D. 6 2 第1页（共9页）
7. 某堆雪在融化过程中，其体积 ??（单位：m3）与融化时间 ??（单位：h）近似满足函数关系：?? ?? =?? 10?
110
?? （?? 为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速
3
度为 ?? m3/h ．那么瞬时融化速度等于 ?? m3/h 的时刻是图中的 ( )
A. ??1
B. ??2
C. ??3
D. ??4
8. 已知点 ?? 在曲线 ??:??=??2 ??>0 上，⊙?? 过原点 ??，且与 ?? 轴的另一个交点为 ??．若线段 ????，⊙?? 和曲线 ?? 上分别存在点 ?? 、点 ?? 和点 ??，使得四边形 ????????（点 ??，??，??，?? 顺时针排列）是正方形，则称点 ?? 为曲线 ?? 的“完美点”，那么下列结论中正确的是 ( )
A. 曲线 ?? 上不存在“完美点”
B. 曲线 ?? 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 1 C. 曲线 ?? 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 2 且小于 1 D. 曲线 ?? 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于 2 11
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 在 ? ?? 的展开式中，常数项是 ．（用数字作答）
??1
6
10. 在极坐标系中，直线 ??sin??=3 被圆 ??=4sin?? 截得的弦长为 ． 11. 若双曲线 ??2???=1 的一条渐近线的倾斜角为 60°，则 ??= ．
12. 如图所示，???? 是 ⊙?? 的切线，????= 2，????= 3，∠??????=4，那么 ∠??????= ．
π
??2
89
13. 在等比数列 ???? 中，若 ??1=?24，??4=?，则公比 ??= ；当 ??= 时，
???? 的前 ?? 项积最大．
14. 如图所示，在正方体 ???????????1??1??1??1 中，点 ?? 是边 ???? 的中点．点 ?? 在直线 ????1（除 ??，??1
两点）上运动的过程中，平面 ?????? 可能经过的该正方体的顶点是 ．（写出满足条件的所有顶点）
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三、解答题（共6小题；共78分）
15. 函数 ?? ?? =cos π??+?? 0
π
Ⅰ 求 ?? 及图中 ??0 的值；
Ⅱ 设 ?? ?? =?? ?? +?? ??+3 ，求函数 ?? ?? 在区间 ?2,3 上的最大值和最小值．
1
11
16. 某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有 50 名同学选修，其中男同学 30 名，
女同学 20 名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核．
Ⅰ 求抽取的 5 人中男、女同学的人数；
Ⅱ 考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等 5 位同学按抽签方式决定．设甲、乙两位同
学间隔的人数为 ??，?? 的分布列为
?? 3 2 ?? ?? ?? 求数学期望 ????；
1 0 32 105Ⅲ 考核的第二轮是笔试：5 位同学的笔试成绩分别为 115，122，105，111，109；结合第一轮
的答辩情况，他们的考核成绩分别为 125，132，115，121，119．这 5 位同学笔试成绩与
2222
考核成绩的方差分别记为 ??1，??2，试比较 ??1 与 ??2 的大小．（只需写出结论）
17. 如图所示，在三棱柱 ?????????1??1??1 中，????1??1?? 为正方形，????1??1?? 为菱形，∠????1??1=60°，
平面????1??1??⊥平面????1??1??．
Ⅰ 求证：??1??⊥????1；
Ⅱ 设点 ??，?? 分别是线段 ??1??，????1 的中点，试判断直线 ???? 与平面 ?????? 的位置关系，并说明
理由；
第3页（共9页）
Ⅲ 求二面角 ???????1??? 的余弦值． 18. 已知椭圆 ??:
??24
+
??23
=1，点 ??1，?? 分别是椭圆 ?? 的左焦点、左顶点，过点 ??1 的直线 ??（不与 ??
轴重合）交 ?? 于 ??，?? 两点． Ⅰ 求 ?? 的离心率及短轴长；
Ⅱ 是否存在直线 ??，使得点 ?? 在以线段 ???? 为直径的圆上，若存在，求出直线 ?? 的方程；若不存
在，说明理由．
19. 已知函数 ?? ?? =??cos??+??sin??，??∈ ?, ．
22ππ
Ⅰ 判断函数 ?? ?? 的奇偶性，并证明你的结论； Ⅱ 讨论集合 ??= ?? ?? ?? =0 中元素的个数；
Ⅲ 当 1
20. 已知集合 ??= ??1,??2,??3,?,???? （??≥3），集合 ??? ??,?? ??∈??,??∈??,??≠?? 且满足：?????，
????∈?? ??,??=1,2,3,?,??,??≠?? ， ????,???? ∈?? 与 ????,???? ∈?? 恰有一个成立．对于 ?? 定义 1, ??,?? ∈??,???? ??,?? =
0, ??,?? ∈??,
???? ???? =???? ????,??1 +???? ????,??2 +?+???? ????,?????1 +???? ????,????+1 +?+???? ????,???? ??=1,2,3,?,?? ．
Ⅰ 若 ??=4， ??1,??2 , ??3,??2 , ??2,??4 ∈??，求 ???? ??2 的值及 ???? ??4 的最大值；
Ⅱ 从 ???? ??1 ，???? ??2 ，?，???? ???? 中任意删去两个数，记剩下的 ???2 个数的和为 ??．求证：
??≥2?? ???5 +3；
Ⅲ 对于满足 ???? ????
素 ??，??，??，使得 ???? ??,?? +???? ??,?? +???? ??,?? =3 恒成立，并说明理由．
1
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答案
第一部分 1. C 6. A 9. 15 10. 2 3 11. 3 12. 3 13. 3；4 14. ??1，??1，?? 第三部分
15. （1） 由题图得 ?? 0 =所以 cos??=
3， 2π
3， 2
12π
2. D 7. C 3. B 8. B 4. C
5. B
第二部分
因为 0
6π
由于 ?? ?? 的最小正周期等于 2， 所以由题图可知 1
7π
π
13π6
，
=
3， 2
π 3 得 cos+ π?? 026π11π5
所以 π??0+=，??0=．
663
1
（2） 因为 ?? ??+3 =cos π ??+3 +6 =cos π??+2 =?sinπ??， 所以
1
?? ?? =?? ?? +?? ??+
3π
cos π??+ ?sinπ??
6ππ
cosπ??cos?sinπ??sin?sinπ??
66 1 3cosπ???sinπ???sinπ??223 3cosπ???sinπ??22π
3sin ?π?? .
6．
1ππ
=====
当 ??∈ ?2,3 时，?6≤6?π??≤所以 ?2≤sin 6?π?? ≤1，
1
π
11
π
π
2π3
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