高考数学一轮复习单元练习--函数的应用
I 卷
一、选择题
1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之
x2
间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为( )
10
A．240 B．200 C．180 D．160 3．函数f(x)＝lnx＋x－2的零点所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 4．方程sinx＝|lgx|的根的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A．5公里处 B．4公里处 C．3公里处 D．2公里处
2
6．已知函数f(x)＝ax＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则a－b的取值范围为( ) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)
?8x－8，x≤1，
7．已知函数f(x)＝?g(x)＝log2x，则两函数图象的交点个数为( )
?0，x>1，
B．3 D．1
πx1
8．函数f(x)＝3cos－logx的零点的个数是( )
22
A．2 B．3 C．4 D．5
1
9．函数f(x)＝log2x－的零点所在区间为( )
x
1??1，1? A．?0， B．?2??2?
C．(1,2) D．(2,3)
10．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( ) A．(1.4,2) B．(1.1,4)
3??3，2? C．?1， D．?2??2?
11．对于函数y＝f(x)，若将满足f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，则函数f(x)＝2x＋x2＋2x－8的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
12．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为( ) A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.05)，f(0.125)
II卷
1
A．4 C．2
二、填空题
13．若抛物线y＝－x2＋mx－1和两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围为________．
14．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若某函数f(x)的图象恰好经过n个格点，则称该函数f(x)为n阶格点函数．给出下列函数：①y＝x2；②y＝lnx；③y＝3x－1；
1
④y＝x＋；⑤y＝cosx.其中为一阶格点函数的是________(填序号)．
x
15．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是________．
－
16．方程2x＋x2＝3的实数解的个数为________．
三、解答题
17．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商 订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低 ②设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
18．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元 (t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查， 销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤． (1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．
1
19．如图所示是函数y＝()x和y＝3x2图像的一部分，其中x＝x1，x2(－1 2相等． (1)给出如下两个命题： 1 ①当x 21 ②当x>x2时，()x<3x2， 2 试判断命题①②的真假并说明理由； (2)求证：x2∈(0,1)． 20．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天) 2 1 的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|(元)． 2 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值． 21．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处，已知AB＝20 km， CB＝10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A，B等 距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为 y km. (1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． 22．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元 (2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值． 销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤． (1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式； (t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查， 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 【答案】C 【答案】B 【答案】B 【答案】B 【答案】A 【答案】B 【答案】C 【答案】D 【答案】C 【答案】D 【答案】C 【答案】A 【答案】2 【答案】②⑤ 1 15. 【答案】a>或a<－1 5 16. 【答案】(3， 10] 3 17. 【答案】(1)当0 当100 p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x. ?60， 0 ?62－0.02x， 100 (2)设利润为y元，则 当0 当100 ?20x， 0 2 ?22x－0.02x， 100 当0 y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050， ∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000. 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． kk 18. 【答案】 (1)设日销量q＝x，则30＝100，∴k＝100e30， ee100e30 ∴日销量q＝， ex 100e30(x－20－t)∴y＝(25≤x≤40)． ex100e30(x－25) (2)当t＝5时，y＝， ex100e30(26－x)y′＝， ex由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26， ∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减， 4 ∴当x＝26时，ymax＝100e4. 当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元． 19. 【答案】(1)当x＝－8时， 1－ ()8＝28＝256,3×(－8)2＝192， 2 1－ 此时()8>3×(－8)2，故命题①是假命题． 2 1 又当x∈(0，＋∞)时，y＝()x是减函数，y＝3x2是增函数，故命题②是真命题． 21 (2)证明：令f(x)＝3x2－()x， 25 则f(0)＝－1<0，f(1)＝>0， 2 ∴f(x)在区间(0,1)内有零点， 1 又∵函数f(x)＝3x2－()x在区间(0，＋∞)上单调递增，∴x2∈(0,1)． 2 20. 【答案】(1)y＝g(t)·f(t) 1 ＝(80－2t)·(20－|t－10|) 2＝(40－t)(40－|t－10|) ?(30＋t)(40－t)， 0≤t<10，＝? (40－t)(50－t)， 10≤t≤20.? (2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200,1 225]， 在t＝5时，y取得最大值为1 225； 当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]， 在t＝20时，y取得最小值为600. 答 总之，第5天日销售额y取得最大值为1 225元；第20天日销售额y取得最小值为600元． 21. 【答案】(1)延长PO交AB于Q， ①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，则OA＝所以OB＝ 10 ． cos θ AQ10 ＝， cos∠BAOcos θ 又OP＝10－10tan θ， 所以y＝OA＋OB＋OP 1010＝＋＋10－10tan θ， cos θcos θ故所求函数关系式为 20－10sin θπy＝＋10 ?0≤θ≤?． ?cos θ4?②若OP＝x (km)，则OQ＝(10－x) (km)， 所以OA＝OB＝(10－x)2＋102＝x2－20x＋200． 故所求函数关系式为y＝x＋2x2－20x＋200 (0≤x≤10)． (2)选择函数模型①， 5 y′＝ －10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)10(2sin θ－1) ＝， cos2θcos2θ 1 令y′＝0，得sin θ＝， 2因为0≤θ≤当θ∈?0， ππ，所以θ＝． 46 ? π? 时，y′<0，y是θ的减函数； 6? ππ 当θ∈?，?时，y′>0，y是θ的增函数， ?64?π 时，ymin＝6 20－10× 32 12 所以当θ＝＋10＝(103＋10) (km)． 这时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边 103 km处． 3 kk 22. 【答案】(1)设日销量q＝x，则30＝100，∴k＝100e30， ee100e30 ∴日销量q＝， ex100e30(x－20－t)∴y＝(25≤x≤40)． ex100e30(x－25) (2)当t＝5时，y＝， ex100e30(26－x)y′＝， ex由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26， ∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减， ∴当x＝26时，ymax＝100e4. 当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元． 6