第三十八讲 两直线的位置关系
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题：(本题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：已知直线的斜率为\\f(1,2)，且所求直线垂直于已知直线，所以所求直线的斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.故选A.
答案：A
2．入射光线沿直线x－2y＋3＝0射向直线l：y＝x，被直线l反射后的光线所在直线的方程是( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x＋y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
解析：由入射光线与反射光线所在直线关于直线l：y＝x对称，把直线x－2y＋3＝0中的x，y互换，得到2x－y－3＝0.
∴反射光线的方程为2x－y－3＝0.故应选B. 答案：B
x2y33．曲线??1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是( )
A．m>4或m<－4 C．m>3或m<－3
B．－4 xy＝1的图象如图所示．解析：曲线 ?与直线y＝2x＋m有两个交点．则m>4或m< 23－4.故选A. 答案：A 4．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值最多有( ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 解析：要使三条直线不能围成三角形，只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可． 若4x＋y＝4与mx＋y＝0平行，则m＝4； 若4x＋y＝4与2x－3my＝4平行，则m＝?16； 若mx＋y＝0与2x－3my＝4平行，则m值不存在； 若4x＋y＝4与mx＋y＝0及2x－3my＝4共点， 则m＝－1或m＝ 23． 综上可知，m值最多有4个，故应选D. 答案：D 5．下列命题中： ①两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等； ②方程(2x＋y－3)＋λ(x－y＋2)＝0(λ为常数)表示经过两直线2x＋y－3＝0与x－y＋2＝0交点的所有直线； ③过点M(x0，y0)，且与直线ax＋bx＋c＝0(ab≠0)平行的直线的方程是a(x－x0)＋b(y－y0)＝0； 5?43(?2)22④两条平行直线3x－2y＋5＝0与6x－4y＋8＝0间的距离是d＝． 其中不正确的命题的个数是( ) A．0个 C．2个 B．1个 D．3个 解析：当斜率不存在时①不正确；方程(2x＋y－3)＋λ(x－y＋2)＝0不表示过交点的直线x－y＋2＝0，所以②不正确；若M(x0，y0)在直线ax＋by＋c＝0上，则c＝－ax0－by0，此时方程a(x－x0)＋b(y－y0)＝0将会重合于直线ax＋by＋c＝0，所以③也不正确；只有④正确． 答案：D 6．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( ) ①y＝x＋1；②y＝2；③y＝A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．①d＝5＋12＝32>4，故直线上不存在点 43x；④y＝2x＋1. 到M距离等于4，不是“切割型直线”；②d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于4，是“切割型直线”；③d＝ 203＋4115115522＝4，直线上存在一点，使之 到点M距离等于4，是“切割型直线”；④d＝离等于4，不是“切割型直线”． 答案：C ＝>4，故直线上不存在到点M距 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 21313c?2a7．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为________． ，则的值为 解析：由题意得， 36??2a??1c,∴a＝－4，c≠－2， 则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋ c2＝0， c由两平行线间的距离公式，得 21313?2?113, 解得c＝2或－6，所以\\f(c＋2,a)＝±1. 答案：±1 8．若直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为________． 解析：由点P在两直线上可得：2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，这表明点(a1，b1)、(a2，b2)均在直线2x＋3y＋1＝0上，而过这两点的直线只有一条． ∴过点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0. 答案：2x＋3y＋1＝0 9．(2010·江苏南通第二次调研)过点P(1,2)的直线l与两点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为________． 解析：(1)当距离为0时，即A、B在直线l上，则有直线l过(1,2)，(2,3)，(4，－5)，经验证可知三点不在一条直线． (2)当l与过AB的直线平行时，可知l的斜率k＝∴l：y－2＝－4(x－1)，即l：4x＋y－6＝0. (3)当l与过AB的直线相交时，可知l过(1,2)及AB的中点(3，－1)， ∴l：y－2＝ 2?(?1)1?3(x?1)，即3x＋2y－7＝0. ?5?34?2＝－4， 答案：3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 10．(2010·广州)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________． 解析：x＋y可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d?22 |?4|2?22, d 2 ＝8. 答案：8 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，分别使 (1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 解：(1)∵m2－8＋n＝0且2m－m－1＝0， ∴m＝1，n＝7. (2)由m·m－8×2＝0得m＝±4. 由8×(－1)－n·m≠0得??m?4?m??4,或? n??2n?2.??即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时， l1⊥l2，又－ n8＝－1， ∴n＝8.故当m＝0且n＝8时满足条件． 12．(1)是否存在直线l1：(m＋4m－5)x＋(4m－4m)y＝8m与直线l2：x－y＝1平行？若存在，求出直线l1的方程，若不存在，说明理由． (2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，求出两直线l3与l4的方程． 分析：先求参数，有解则写出方程，并注意分类讨论． 解：(1)假设存在直线l1与l2平行． ∵l2的斜率为1，l1∥l2，∴l1的斜率必为1. 2 2