2012-2013学年度第二学期期末考试
高二理科数学参考答案
t1?t2?82?22a,t1t2?32?8a，由t1t2?(t1?t2)2?t12?t22?3t1t2 ?(82?22a)2?5(32?8a)?a2?3a?4?0
又因为a?0，所以a?1…………………………………………………………………14分
（B题）解: （1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为轴， 1D1C1建立如图所示的直角坐标系，则A(1,0,0)，E(,0,1)， E 2F A11B1B(1,1,0)，F(1,,1).……………………………………2分 2D A （第19题图） B C 平面ACC1的一个法向量为DB?(1,1,0)，设平 面BFC1的法向量为n?(x,y,z)，
1?n?BF??y?z?0,?x?z,?2∴? ?y?2z.?n?BC?(x,y,z)?(?1,0,1)??x?z?0,?1?取z?1得平面BFC,2,1)……………………………………………5分 1的一个法向量n?(1cos?DB,n??DB?n|DB|?|n|?1?22?6?3，因为?DB,n?为锐角， 2∴所求的锐二面角为
?． …………………………………………………7分 6
2212
由η～B(3，)，D(η)＝3××＝．可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ) 3333 因此，建议该单位派甲参加竞 赛．………………………………………………………………………………………………14分 21.（A题）解：证明（1）?x,y,z?R?，且1?x?y?z?33xyz?0?3xyz?1， 3?111???x2y2z233x2y2z2?3(3xyz)2?3?27 12()3故 1111x?y?z?当时等号成立……………………………6分 ???273x2y2z2?222333（2）?x,y,z?R， x?y?z?1且?(x?y?z)?x?y?z恒成立， x3?y3?z3恒成立， ???2x?y2?z2?x3?y3?z3?(x3?y3?z3)(x?y?z)?(x2?y2?z2)2 又 ?(x?y?z)(1?1?1)?(x?y?z)?1?x?y?z?33322222222221 3112x3?y3?z3122x?y?z?当时等号成立 ?x?y?z?(x?y?z)?2?22333x?y?z???11，故实数?的最大值为…………………………………………………14分 33332（B题）解：（1）?f(x)?(1?2x)?ax?bx?cx?d，对此等式两边同时求导数得： 令x?1得：3a?2b?c??6，又由二项式定理知d?1 3(1?2x)2(?2)?3ax2?2bx?c， 故3a?2b?c?d??6?1??7 ………………………………………………6分 此题还可直接利用二项式定理求出a,b,c,d的值，然后再求3a?2b?c?d的值. （2） f?(x)?x2?2bx?c，由题意可得f'(0)?0，f(0)??1，解得c?0,d??1 13x?bx?1………………………8分 3经检验，f(x)在x?0处取得极大值.?f(x)?'设切点为(x0,y0)，则切线方程为y?y0?f(x0)(x?x0) 即为y?(x0?2bx0)x?2232x0?bx0?1……………………………………………………9分 3因为切线方程为y?(x0?2bx0)x?因为有三条切线，故方程设g(x)?2232x0?bx0?1，把(0,0)3代入可得 232x0?bx0?1?0， 3232x0?bx0?1?0有三个不同的实根.………………………11分 323x?bx2?1?0(b?0) 3g?(x)?2x2?2bx，令g?(x)?2x2?2bx?0，可得x?0和x??b x g'(x) g(x) (??,0) 0 (0,?b) ?b (?b,??) + 增 0 极大值 一 减 30 极小值 + 增 因为方程有三个根，故极小值小于零，b?1?0，所以b??33 ………………14分 22. 解： (1)显然x?0，且f?(x)?2?13a……………………………………………1分 x① 当a?0时，f??x??0，函数f?x?在定义域内单调递增； ② 当a?0时，若x??0,???a??，f??x??0，函数单调递减； 2?若x????a?,???，f??x??0函数单调递增…………………………4分 ?2?(2)由(1)知，当a?0时，函数f?x?在定义域内单调递增，所以f(x)无最小值. 当a?0时，x??a?a??a?时，f(x)最小，即??a??f?????a?aln??? 2?2??2?所以???a??ln???a?? ?2?因此，当a??2时，???a??0，函数??a?单调递增； 当?2?a?0时，???a??0，函数??a?单调递减； 故??a?的最大值是???2??2…………………………………………………………8分 (3) 由(1)知A??a|a?0?,极小值即最小值f???a??， ?2?9分 故??a??f???a??a???a?aln????2???2?对于任意的m,n?A且m?n有， ?m??n??m?mln????n?nln?????m????n??m?n??2??2????m?n?m?nln??M?n??????????22224???2?????m?m?n?n?m?n?m?n?m?2m?n?2n?ln????ln????ln???ln???ln??11分 2?2?2?2?242m?n2m?n??????不妨设m?n?0，则 mm?1，令t??t?1?则 nn??m????2?2??n??2t???m????n??m?n?n?m?n??2?? ????ln?ln?tln?ln?????m???????t?1?22t?1?2?2?n?m?1?????????1????n??n????设u?t??tln??2t??2??ln????tln2t?tln?t?1??ln2?ln?t?1? ?t?1??t?1??tln2t?ln2??t?1?ln(t?1) 所以u?(t)?ln2t?ln(t?1)?ln(即 2t2t2t?t?1t?1)，因为?1???0 t?1t?1t?1t?12t?1，所以u?(t)?0，即函数u(t)在t??1,???上单调递增. t?1从而u(t)?u(1)?0，但是 ??m????n?n?m?n??0，所以????0 ?22?2?即 ?(m)??(n)2??(m?n)……………………………………………………………14分 2