2012—2013学年（下）高二级第二学段模块考试
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相
关信息填写在答题卡指定区域内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。
X x1 x2 … xi … xn
参考公式： P p1 p2 … pi … pn 一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则E(X)?x1p1?x2p2?...?xipi?...?xnpn.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的) 1．若复数
2?ai(a?R)是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（*） 1?iA．?2 B．?1 C．1 D．2
2．随机变量?服从正态分布N(40,?2)，若P(??30)?0.2，则P(30???50)?（*） A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻， 不同的排法共有（*） A．1440种 C．720种
B．960种 D．480种
4．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的 顶点，则在原来的正方体中（*） A．AB//CD C．AB?CD
B．AB与CD相交
D．AB与CD所成的角为60
?5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（*） A．正三角形的顶点 C．正三角形各边的中点
B．正三角形的中心 D．无法确定
6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（*）
A．
1 2B．
3 5C．
2 3D．
3 4x2y2?7．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为（*）
ab2323 B．3 C．2 D．或2 338．设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)，(a,b,c是互不相等的常数)，则
A．abc等于（*） ?????f(a)f(b)f(c)A．0
B．1
C．3
D．a?b?c
第二部分 非选择题（110分）
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 （一）必做题（9～13题）
9．曲线y?lnx?1在点(e,2)的切线方程是 * .
110．随机变量ξ的分布列如右图，其中a，b，成等差数列，
2则E(?)? * .
ξ －1 0 1 P a b 1 21??11．?2x3??的展开式中常数项的值是 * .（用数字作答）
x??12．[n]表示不超过n的最大整数.
7S1?[1]?[2]?[3]?3S2?[4]?[5]?[6]?[7]?[8]?10S3?[9]?[10]?[11]?[12]?[13]?[14]?[15]?21那么S5? * .
x2y2??1的右焦点重合，13．已知抛物线y?2px的焦点F与双曲线抛物线的准线与x792轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|?2|AF|，则△AFK的面积为 * . （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题. 请先用2B铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑，然后把答案填在横线上.）
14．(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，已知点
A(1,3??)和B(2,),则A、B两点间的距离是 * . 4415．(几何证明选讲选做题) 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆
的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，则DE＝ * .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 先后掷两颗均匀的骰子，问
（1）至少有一颗是6点的概率是多少？
（2）当第一颗骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
17．（本小题满分14分）
甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为率为
1，乙投篮一次命中的概22．每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响． 3（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得?1分，求乙所得分数?的概率分布和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，在圆锥PO中，已知PO?2，⊙O的直径AB?2，
C是AB的中点，D为AC的中点．
（1）证明：平面POD?平面PAC； （2）求二面角B?PA?C的余弦值.
19．（本小题满分12分）
数列{an}满足Sn?2n?an(n?N*)．
（1）计算a1，a2，a3，a4，由此猜想通项公式an，并用数学归纳法证明此猜想； （2）若数列{bn}满足bn?2n?1an，求证：
20．（本小题满分14分）
11??b1b2?15?． bn3x2y2已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)与直线x?y?1?0相交于A、B两点．
ab（1）若椭圆的半焦距c?3，直线x??a与y??b围成的矩形ABCD的面积为8，
求椭圆的方程；
（2）若OA?OB?0（O为坐标原点），求证：
11??2； 22ab（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足
21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?32，求椭圆长轴长的取值范围． ?e?321?ln(x?1)(x?0). x（1）函数f(x)在区间(0,??)上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）当x?0时，f(x)?k恒成立，求整数k的最大值； x?1（3）试证明：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)??[1?n(n?1)]?e2n?3(n?N*).
2012—2013学年（下）高二级第二学段模块考试·理科数学
答案及说明
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 D 8 A 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．y?11x?1 10． 11．14 12． 55 e313．32 14．5 15． 63 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 16．（本小题满分12分） 解：（1）设x为掷第一颗骰子得的点数，y为掷第二颗骰子得
的点数，则所有可能的事件与点(x,y)建立对应如图，共有6?6?36种不同情况，它们是等可能
的． …………2分 设事件A为“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况， …………3分
11
∴P(A)＝. …………5分
36
（2）设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”，事件C为“两
颗骰子的点数之和大于8”，由图可知
1215?，P(BC)? …………9分 363365P(BC)365?P(C|B)??? …………12分
112P(B)3则P(B)?17．（本小题满分14分） 解：（1）设“甲至多命中1个球””为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，……1分 由题意得，P(A)?()?C4()()?145?? 1616162180P(B)?1?(1?)4?1?? …………5分
381814113121212∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为
58025?? …………6分 168181（2）乙所得分数?的可能取值为?4,0,4,8,12，…………7分
141824121322212则P(???4)?()?，P(??0)?C4()()?，P(??4)?C4()()?，
38133813381322163231P(??8)?C4()()?，P(??12)?()4? …………11分
3381381?分布列如下：
? ?4 0 4 8 12 24183216 P 8181818181P(AB)?P(A)P(B)?分
…………13
E???4?1824321620?0??4??8??12?? …………14分 8181818181318．（本小题满分14分）
解法1：（1）连结OC，因为OA?OC，D是AC中点，所以AC?OD
又PO?底面⊙O，AC?底面⊙O，所以AC?PO， …………2分 因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC?平面POD …………4分 而AC?平面PAC，所以平面POD?平面PAC. …………6分