（2）在平面POD中，过O作OH?PD于H，
由（1）知，平面POD?平面PAC,平面POD平面PAC=PD 所以OH?平面PAC，又PA?面PAC，所以PA?OH.
在平面PAO中，过O作OG?PA于G，连接HG，OGOH?O ?PA?平面OGH，
从而PA?HG，故?OGH为二面角B?PA?C的平面角 …………9分 在Rt?ODA中,OD?OA?sin45??2. 22PO?OD2?10. ?在Rt?POD中,OH?51PO2?OD22?2PO?OA2?16??. 在Rt?POA中,OG?222?13PO?OA10OH155Rt?OHG中,sin?OGH???. 在
OG5631510所以cos?OGH?1?sin2?OGH?1??. …………13分
25510故二面角B?PA?C的余弦值为. …………14分
5解法2：如图所示，以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立
2?空间直角坐标系，则
O(0,0,0),A(?1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2)，
11D(?,,0) …………2分
22（1）设n1?(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量，
1?1?x?y1?0,?12则由n1?OD?0,n1?OP?0，得?2
?2z?0.?1所以z1?0,x1?y1，取y1?1得n1?(1,1,0) ………4分 设n2?(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量，
???x2?2z2?0,则由n2?PA?0,n1?PC?0，得?
??y2?2z2?0.所以x2??2z2,y2?2z2，取z2?1，得n2?(?2,2,1) …………6分
因为n1?n2?(1,1,0)?(?2,2,1)?0，所以n1?n2
从而平面POD?平面PAC …………8分 （2）因为y轴?平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3?(0,1,0) 由（1）知，平面PAC的一个法向量为n2?(?2,2,1)
设向量n2和n3的夹角为?，则cos??所以二面角B?PA?C的余弦值为
n2?n3n2?n3?210? …………13分
5510. …………14分 519．（本小题满分12分） 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
3
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. …………1分
2
7
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
4
15
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. …………2分
8
n2－1*
由此猜想an＝n－1(n∈N)． …………4分
2
现用数学归纳法证明如下：
1
2－1
①当n＝1时， a1＝0＝1，结论成立．
2
k2－1*
②假设n＝k（k≥1且k∈N）时，结论成立，即ak＝k－1，那么当n＝k＋1时，
2
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
k2－12＋k－1k＋1
22＋ak2－1
∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，故当n＝k＋1时，结论成立， k222n2－1*
由①②知猜想an＝n－1(n∈N)成立． …………8分
2(2)由(1)知，bn?2n?1an?2n?12n?111?n?1?2n?1，?n． …………9分 2bn2?1112n?1?1解法1：当n?3时，??n ?nn?1bn2?1(2?1)(2?1)2n?111 ………10?n??n?1n?1n(2?1)(2?1)2?12?1分
11111111?1??(?)?(?)??(n?1?n) bn3377152?12?1515??n?． ………12分 32?131n12解法2：当n?2时，()?()，
2211111?????n?2 ………10bn2n[1?(1)n]2n[1?(1)2]3222??分
11??b1b2?11??b1b2?11111?1?(0?1?2?bn3222?12n?2)
1n?151212 ………12分 ?1???1?(1?n?1)?．
331?13221111解法3： 当n?3时，?n …………10?n?n?2n?22bn2?12?22(2?1)1?分
?11??b1b2?1111 ??2??nbn2?12?12?111111??2?3?4??n 2?12?12?12?12?111111??2?3?4?? 2nn?22?12?12?22?22?211111??2(1??2??n?2) 2?12?122211?n?1511111?．………12分 ??2?2??2?132?12?11?12?12?11?22
20．（本小题满分14分）
?a2?b2?3?a?2解：（1）由已知得：? 解得? …………3分
?b?1?4ab?8x2?y2?1 …………4分 所以椭圆方程为：42?b2x?ay?a2b（2）设，得A(1x,1y),B)2，(x由,y??x?y?1?022(a2?b2)?x22a?x( ?1a?)b02222由?2ab(a?b?1)?0，得a?b?1
222a2a2(1?b2)?x1?x2?2,x1x2?2 …………7分 22a?ba?b由OA?OB?0，得x1x2?y1y2?0 …………8分
∴2x1x2?(x1?x2)?1?0
11??2 …………9分 22aba2c2a2?b2222222（3）由（2）得b? 由e?2?，得b?a?ae， 222a?1aa12∴2a?1? …………12分 21?e33252?e?由得?a?，∴5?2a?6 4232所以椭圆长轴长的取值范围为[5,6] …………14分
即a?b?2ab?0，故
2222 21．（本小题满分14分） 1?ln(x?1)]x?1解：（1）由题x?0,f?(x)???0 …………2分 2x故f(x)在区间(0,??)上是减函数 …………3分
kx?1[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立, …4（2）当x?0时,f(x)?恒成立,即k?x?1x[分 x?1x?1?ln(x?1)[1?ln(x?1)],则h'(x)?, …………5分 2xx1x??0, …………6分 再取g(x)?x?1?ln(x?1),则g?(x)?1?x?1x?1故g(x)在(0,??)上单调递增 而g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0 故g(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3)，?a?1?ln(a?1)?0 …………8分 故当x?(0,a)时，g(x)?0，h?(x)?0，当x?(a,??)时g(x)?0，h?(x)?0 a?1故h(x)min?h(a)??1?ln(a?1)??a?1?(3,4),?k?3 故kmax?3 ……10分
a1?ln(x?1)33x33?(x?0)?ln(x?1)??1?2??2? （3）由（2）知xx?1x?1x?1x311?2?3(?), …………12分 令x?n(n?1),ln[1?n(n?1)]?2?n(n?1)nn?1又ln[(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)??(1?n(n?1))] ?ln(1?1?2)?ln(1?2?3)??ln(1?n?(n?1)) 11111?2n?3[(1?)?(?)??(?)]223nn?113?2n?3(1?)?2n?3??2n?3 n?1n?1即 (1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)??(1?n(n?1))?e2n?3 …………14分
取h(x)?