第四章 第六节 三角函数的性质
题组一 三角函数的定义域问题 1.函数y＝tan????4?x???的定义域是 ( ) A.{x|x≠π
4，x∈R}
B.{x|x≠－π
4，x∈R}
C.{x|x≠kπ＋π
4，k∈Z，x∈R}
D.{x|x≠kπ＋
3π
4
，k∈Z，x∈R} 解析：∵x－ππ3
4≠kπ＋2，∴x≠kπ＋4π，k∈Z.
答案：D 2.函数y＝lg(sinx)＋cosx－12
的定义域为 .
?解析：要使函数有意义必须有
?sinx?0,?sinx?0,?即???cosx?12≥0,??1?cosx≥2,?2k??x???解得?k?,?(k?Z) ????3?2k?≤x≤?3?2k?,∴2kπ 3 ＋2kπ，k∈Z， ∴函数的定义域为{x|2kπ 3＋2kπ，k∈Z}. 答案：{x|2kπ 3＋2kπ，k∈Z} 1 题组二 三角函数的单调性 π3π3.(2010·福州模拟)若函数y＝sinx＋f(x)在[－，]内单调递增，则f(x)可以是( ) 44A.1 B.cosx C.sinx D.－cosx ππππ 解析：y＝sinx－cosx＝2sin(x－)，－≤x－≤，满足题意，所以f(x) 4242可以是－cosx. 答案：D πx 4.求y＝3tan(－)的周期及单调区间. 64πxxπ 解：y＝3tan(－)＝－3tan(－)， 6446π ∴T＝＝4π， |ω| πx ∴y＝3tan(－)的周期为4π. 64 πxππ4π8π 由kπ－＜－＜kπ＋，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)， 246233xπ4π8π y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递增. 4633πx4π8π ∴y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递减. 6433 题组三 三角函数的奇偶性和周期性 5.(2009·江西高考)函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为 ( ) 3π A.2π B. 2π C.π D. 2解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx π2π ＝2sin(x＋)，T＝＝2π. 6|ω|答案：A π 6.若函数y＝2cos(2x＋φ)是偶函数，且在(0，)上是增函数，则实数φ可能是 ( ) 4π A.－ B.0 2π C. D.π 2 解析：依次代入检验知，当φ＝π时，函数y＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x，此时函数 2 y是偶函数且在(0，π 4)上是增函数. 答案：D 题组四 三角函数的值域与最值 7.已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间[－ππ3，4]上的最小值是－2，则ω的最小值 等于 ( ) A.23 B.32 C.2 D.3 ?解析：由题意知?T?≤?,?43???T?2? ?,解得ω≥3 2. 答案：B 8.已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxsin(ωx＋π 2)(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求函数f(x)在区间[0，2π 3]上的取值范围. 解：(1)f(x)＝ 1?cos2?x2＋3 2sin2ωx ＝ 32sin2ωx－12cos2ωx＋1 2 ＝sin(2ωx－π6)＋12 . 因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π 2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin(2x－π1 6)＋2 . 因为0≤x≤2πππ3，所以－6≤2x－6≤7π 6， 所以－12≤sin(2x－π 6)≤1， 所以0≤sin(2x－π136)＋2≤2 ， 3 3 即f(x)的取值范围为[0，]. 2 题组五 三角函数性质的综合应用 π9.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期 3是π，则函数f(x)的图象的一个对称中心是 ( ) ππ A.(，1) B.(，0) 3125ππ C.(，0) D.(－，0) 1212 2ππ 解析：∵T＝＝π，∴ω＝2，又∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称， ω3π ∴sin(2×＋φ)＝±1， 3π ∴φ＝k1π－，k1∈Z， 6 ππ 由sin(2x＋k1π－)＝0得2x＋k1π－＝k2π，k1，k2∈Z， 66ππ ∴x＝＋(k2－k1)， 122π当k1＝k2时，x＝， 12 π ∴函数f(x)的图象的一个对称中心为(，0). 12答案：B 10.(文)若a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)，其中ω＞0，记函数f(x)＝(a＋b)·b＋k. π (1)若函数f(x)的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求ω的取值范围； 2ππ1 (2)若函数f(x)的最小正周期为π，且当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值是，求 662函数f(x)的解析式，并说明如何由函数y＝sinx的图象变换得到函数y＝f(x)的图象. 解：∵a＝(3cosωx，sinωx)，b＝(sinωx,0)， ∴a＋b＝(3cosωx＋sinωx，sinωx). 故f(x)＝(a＋b)·b＋k＝3sinωxcosωx＋sin2ωx＋k ＝＝ 1－cos2ωx3 sin2ωx＋＋k 22311sin2ωx－cos2ωx＋＋k 222 π1＝sin(2ωx－)＋k＋. 62 4 Tππ (1)由题意可知＝≥，∴ω≤1. 22ω2又ω＞0，∴0＜ω≤1. (2)∵T＝ 2π ＝π，∴ω＝1. 2ω π1 ∴f(x)＝sin(2x－)＋k＋. 62 πππππ ∵x∈[－，]，∴2x－∈[－，]. 66626ππππ 从而当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝f() 6666π11 ＝sin＋k＋＝k＋1＝， 6221π∴k＝－.故f(x)＝sin(2x－). 26 ππ 由函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin(x－)的图象，再 661 将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函 2π 数y＝sin(2x－)的图象. 6 πππ (理)设函数f(x)＝sin(x－)－2cos2x＋1. 468(1)求f(x)的最小正周期； 4 (2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g(x) 3的最大值. πππππ 解：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx 46464＝ 3π3π sinx－cosx 2424 ππ＝3sin(x－)， 43 2π 故f(x)的最小正周期为T＝＝8. π4 (2)法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x)). 由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而 ππ g(x)＝f(2－x)＝3sin[(2－x)－] 43 5 ＝3sin(π2－ππ 4x－3) ＝3cos(π4x＋π 3 ). 当0≤x≤43时，π3≤π4x＋π3≤2π3，因此y＝g(x)在区间[0，4 3]上的最大值为gmax＝ 3cosπ3＝3 2 . 法二：因区间[0，43]关于x＝1的对称区间为[2 3，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象 关于x＝1对称，故y＝g(x)在[0，43]上的最大值即为y＝f(x)在[2 3，2]上的最大值. 由(1)知f(x)＝3sin(π4x－π 3)， 当23≤x≤2时，－ππππ6≤4x－3≤6. 因此y＝g(x)在[0，4 3]上的最大值为 gπ3 max＝3sin6＝2 . 6