第3讲 直线与圆锥曲线的综合问题
一、选择题
x2y2
1．(2013·济南3月模拟)若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是 A．(1,2) C．(1，5)
B．(1,2] D．(1，5]
( )．
b解析 因为双曲线的渐近线为y＝±ax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，b
则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有a≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2， ∴c2－a2≤3a2，则c2≤4a2，故1 2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为 A.2 C．4 x2y2 解析 设C：a2－a2＝1. x2y2 ∵抛物线y＝16x的准线为x＝－4，联立a2－a2＝1和x＝－4得A(－4， 2 ( )． B．22 D．8 16－a2)，B(－4，－16－a2)， ∴|AB|＝216－a2＝43，∴a＝2，∴2a＝4. ∴C的实轴长为4. 答案 C x2y2 3．(2013·四川高考)从椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )． 2A.4 2C.2 1B.2 3D.2 y0b 解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－c，kAB＝－a，由于OP?bc?2 ? ?－c?2?bc??a?y0bbc? ∥AB，∴－c＝－a，y0＝a，把P?－c，a?代入椭圆方程得a2＋b2＝1， ??c2?c?1 因而?a?2＝2，∴e＝a＝2. ??答案 C 4.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( )． A．(－2,1) C．(2,1) B．(1,2) D．(－1,2) 解析 显然点A在抛物线y＝2x2内部， 过点A作准线l的垂线AH，垂足为H，交抛物线于P. 由抛物线定义，|PF|＝|PH|， ∴(|PA|＋|PF|)min＝|PH|＋|PA|＝|AH|， 将x＝1代入y＝2x2，得y＝2， ∴点P的坐标为(1,2)． 答案 B x2y25．(2013·潍坊质检)已知双曲线C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ( )． 83 A．x2＝3y C．x2＝8y 163 B．x2＝3y D．x2＝16y x2y2 解析 ∵双曲线C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2， a2＋b2c ∴a＝a＝2，∴b＝3a， ∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0， p?? ∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点?0，2?到双曲线的渐近线的距离为 ??p?? ?3×0±2??? ＝2，∴p＝8. 2∴所求的抛物线方程为x2＝16y. 答案 D 二、填空题 x2y2 6．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 解析 由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|， 15即4c＝a－c，a＝5c，所以e＝5，所以e＝5. 2 2 2 2 2 2 5 答案 5 7．(2013·浙江高考)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________． 解析 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)． ?y＝k?x＋1?，解方程组?2 ?y＝4x. 化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 4－2k2 ∴x1＋x2＝k2， 4 y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝k， 2－k22∴x0＝k2，y0＝k， 2 ?2－2k?2?2?2 由?x0－1?＋?y0－0?＝2得：?2?＋?k?＝4. ?k??? 22∴k＝±1. 答案 ±1 x2y2 8．已知椭圆4＋b2＝1(0 解析 不妨设点F的坐标为(4－b2，0)，而|AB|＝2b， 1 ∴S△ABF＝2×2b×4－b2＝b4－b2＝b2?4－b?2 b2＋4－b2222≤＝2(当且仅当b＝4－b.即b＝2时取等号)． 2故△ABF面积的最大值为2. 答案 2 三、解答题 9．(2013·浙江高考)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)． (1)求抛物线C的方程； (2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求|MN|的最小值． p 解 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则2＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1. ?y＝kx＋1，由?2消去y，整理得x2－4kx－4＝0， ?x＝4y所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x1－x2|＝4k2＋1. y1又y＝xx，且y＝x－2， 1 2x12x18 解得点M的横坐标xM＝＝. 2＝x1x1－y14－x1 x1－4同理点N的横坐标xN＝所以|MN|＝2|xM－xN| 8??8 ＝2?4－x－4－x? ?12?x1－x2?? ? ＝82? ?x1x2－4?x1＋x2?＋16?82·k2＋1＝， |4k－3| t＋3 令4k－3＝t，t≠0，则k＝4. 当t>0时，|MN|＝22当t<0时，|MN|＝22 256t2＋t＋1>22. ?53?2168 ?t＋5?＋≥ 2. ??2558 . 4－x2 254 综上所述，当t＝－3，即k＝－3时， |MN|取到最小值， 8 且|MN|的最小值是5 2. x22 10．(2013·北京高考)已知A，B，C是椭圆W：4＋y＝1上的三个点，O是坐标原点． (1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；