1993年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
3x2?52sin? . (1) limx??5x?3xdy?3x?2??2(2) 已知y?f?则,fx?arctanx,???dx?3x?2?(ln3)n(3) 级数?n的和为 .
2n?0?? . x?0(4) 设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为 . (5) 设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为
5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1??xsin2,x?0,(1) 设f?x???则f?x?在点x?0处( ) x?x?0,?0,(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设f?x?为连续函数,且F?x???1f?t?dt,则F??x?等于 ( )
xlnx(A)
11?1?1f?lnx??2f?? (B) f?lnx??xx?x?x11?1?f?lnx??2f?? (D) f?lnx??xx?x??1?f?? ?x?(C)
?1?f?? ?x?(3) n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件
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(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A和B满足P(BA)?1,则 ( )
(A) A是必然事件 (B) P(BA)?0. (C) A?B (D) A?B
(5) 设随机变量X的密度函数为?(x),且?(?x)??(x).F(x)是X的分布函数,则对任
意实数a,有( )
(A) F(?a)?1???(x)dx. (B) F(?a)?0aa1???(x)dx 20(C) F(?a)?F(a) (D) F(?a)?2F(a)?1
三、(本题满分5分)
设z?f?x,y?是由方程z?y?x?xez?y?x?0所确定的二元函数,求dz.
四、(本题满分7分)
???x?a?已知lim???4x2e?2xdx,求常数a的值. ?ax??x?a??x
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五、(本题满分9分)
1 设某产品的成本函数为C?aq2?bq?c,需求函数为q?(d?p),其中C为成本,qe为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且d?b,求:
(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;
(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、(本题满分8分)
假设:(1) 函数y?f(x)(0?x???)满足条件f(0)?0和0?f(x)?ex?1; (2) 平行于y轴的动直线MN与曲线y?f(x)和y?ex?1分别相交于点P1和P2; (3) 曲线y?f(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段PP12的长度. 求函数y?f(x)的表达式.
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七、(本题满分6分)
假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y?f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0?c?1.
证明:在(0,1)内至少存在一点?,使f??(?)?0.
八、(本题满分10分)
k为何值时,线性方程组
?x1?x2?kx3?4,?2??x1?kx2?x3?k, ?x?x?2x??43?12有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.
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九、(本题满分9分)
设二次型
22f?x12?x2?x3?2?x1x2?2?x2x3?2x1x3
22经正交变换X?PY化成f?y2,其中X?(x1,x2,x3)T和Y?(y1,y2,y3)T是三维列向?2y3量, P是3阶正交矩阵.试求常数?,?.
十、(本题满分8分)
设随机变量X和Y同分布, X的概率密度为
?32?x,0?x?2, f(x)??8?其他.?0,3(1) 已知事件A??X?a?和B??Y?a?独立,且P?AB??.求常数a.
41(2) 求2的数学期望.
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