?2x? ?2a2e?2a???2xe????a?2?e?2xdx
a???2b?2a?2b?2a????2be?2ae?lim?e?e ?2a2e?2a?lim??b????? b???? ?2a2e?2a?2ae?2a?e?2a,
由e?2a?2a2e?2a?2ae?2a?e?2a,得a2?a?0,所以a?0或a?1.
五、(本题满分9分) 解：(1) 利润函数为
L?pq?C?(d?eq)q?(aq2?bq?c)?(d?b)q?(e?a)q2?c,
对q求导,并令
dLdLd?b. ?0,得?(d?b)?2(e?a)q?0,得q?dqdq2(e?a)d?bd2L因为2??2(e?a)?0,所以,当q?时为利润函数的极大值点,根据题意也是利
2(e?a)dq润的最大值点,所以Lmax(d?b)2??c. 4(e?a)11peq?d(2) 因为q(p)?(d?p),所以q?(p)??,故需求对价格的弹性为??q??.
eeqeq(3) 由??1,得q?
d. 2e六、(本题满分8分)
x解：由题设可得示意图如右.设P1(x,f(x)),P2(x,e?1),则S?PP12,
即 ?f(t)dt?ex?1?f(x).
0x两端求导,得f(x)?ex?f?(x),即f(x)?f?(x)?ex. 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
?p(x)dxp(x)dxf(x)?e?(?q(x)e?dx?C)
?dxdx1?e?(?exe?dx?C)?(?exexdx?C)e?x?Ce?x?ex.
211由初始条件f(0)?0,得C??.因此,所求函数为f(x)?(ex?e?x).
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知识点：一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的通解公式为:
?p(x)dxp(x)dxy?e?(?q(x)e?dx?C),其中C为常数.
七、(本题满分6分)
解：因为f(x)分别在[0c和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在,]?1?(0,c),?2?(c,1),使得
f(c)?f(0)f(1)?f(c),f?(?2)?,
c?01?cf(c)?f(0)f(1)?f(c)f(1)?f(0)???f(1)?f(0), 由于点C在弦AB上,故有
c?01?c1?0f?(?1)?从而 f?(?1)?f?(?2)?f(1)?f(0).
这表明f?(x)在区间[?1,?2]上满足罗尔定理的条件,于是存在??(?1,?2)?(0,1),使得
f??(?)?0.
八、(本题满分10分)
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换,
第一行和第三行互换,再第一行分别乘以?1?、??1?加到第二行和第三行上,再第二
?1?k?行和第三行互换,再第二行乘以??加到第三行上,有
2???11kA????1k1??1?124??1?12??1k1k2?????4????11k?4?k2?? 4???4?8?? k2?4??2?1?13 ???0k?1?2k?2?0?4??1?12?0k2?4??2k?2??8?3???0k?1??1?12?k?2 ??02?(1?k)(4?k)?00?2??4??8?.
?k(k?4)??(1)当k??1且k?4时,r(A)?r(A)?3,方程组有唯一解,即
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k2?2kk2?2k?4?2kx1?,x2?,x3?.
k?1k?1k?1(2)当k??1时, r(A)?3,r(A)?2方程组无解.
?1?12(3)当k?4时,有A???022??000?4??103?0118????0????0000?4??. 0??因为r(A)?r(A)?2?3,方程组有无穷多解. 取x3为自由变量,得方程组的特解为??(0,4,0)T.
又导出组的基础解系为??(?3,?1,1)T,所以方程组的通解为??k?,其中k为任意常数. 九、(本题满分9分)
?1?解：经正交变换二次型f的矩阵分别为A????1??1?1??0??1?. ??,B?????1?2????由于P是正交矩阵,有P?1AP?B,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有
22??A?2???????0,?????0. ???E?A??2???0.知识点：二次型的定义：含有n个变量x1,x2,多项式)
,xn的二次齐次多项式(即每项都是二次的
f?x1,x2,称为n元二次型,令x??x1,x2,,xn????aijxixj,其中aij?aji,
i?1j?1nn,xn?,A??aij?,则二次型可用矩阵乘法表示为
Tf?x1,x2,,xn??xTAx,
,xn?的矩阵.
其中A是对称矩阵?AT?A?,称A为二次型f?x1,x2,
十、(本题满分8分)
解：(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则
P?A??P?X?a??P?Y?a??P?B?,
又事件A??X?a?和B??Y?a?独立,故P?AB??P?A?P?B?.
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估计广义加法公式：
23P?AB??P?A??P?B??P?A?P?B??2P?A???PA?. ?????42313PA?2PA??0.P(A)?P(A)??解以P(A)为未知量的方程 ?得,(因不合题??????422意).
再依题设条件可知
??2311?P(A)?P{X?a}??f(x)dx??x2dx?(8?a3).
aa828再解以a为未知量的方程:8?a3?4,得a?34. (2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:
??121323323?1?2E?2???fxdx??xdx?dx?x0?. ??????x20x2808X84??
十一、(本题满分8分)
解：本题的关键在于理解随机变量N?t?的意义,事件{N?t??k}表示设备在任何长为t的
(?t)k??te(k?0,1,2). 时间内发生k次故障,其概率为P{N?t??k}?k!由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当t?0时,F?t??P?T?t??0;当t?0时,事件?T?t?与?T?t?是互逆事件,并且?T?t?表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件N?t??0.
(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.
当t?0时,F?t??P?T?t??0;
当t?0时,事件?T?t?与?N?t??0?等价.于是有
F?t??P?T?t??1?P?T?t??1?P?N?t??0??1?e??t.
?1?e??t,??t?0因此 F?t???.
?0,??????????t??计算得知T服从参数为?的指数分布. (2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此
Q?P?T?16|T?8??P?T?8??1?P?T?8??1?F(8)?1?(1?e?8?)?e?8?.
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