2．计算不定积分?11?exdx
解: 令t?1?ex则x?ln?t2?1?，dx?2tt2?1d t原式??2?11?t2?1dt????t?1?t?1??dt
?lnt?1t?1?C?2ln?1?ex?1??x?C
（或写成ln1?ex?11?ex?1?C ） 3．计算定积分?10ln?x?1?x2?dx 1解: 原式?xln?x?1?x2??1?xdlnx?1?x2dx
00??11 ?ln2?1??x1?x2dx?l?n2??1122x?102??0 ?ln?2??1?2? 1
四、计算题（二）（每小题 8分，共 16 分）
1．求由方程y?1?x2?xey所确定的隐函数y?y?x?
的导数dydx.
解: ?y??2x?ey?xeyy?
?y??2x?ey1?xey 6
?x?ln?1?t2?2．设???tu2求：dy. d2y??y?dudxdx2 01?u2dyt2解:
dydx?dxdt?1?2tt2?12t dt1?td??dy?d2yd??dy???dx??1dx2??dx?dx?1?t2dxdt?22t?4t
dt1?t2五、解答题（每小题 8分，共 16 分）
1．确定a,b的值，使点?1,3?是曲线y?ax3?bx2?x的拐点，并求该曲线在点?1,3?处的切线方程．
解: ?y??3a2x?2bx?1 ， y???6ax?2b
由题意可知：6a?2b?0， a?b?1?0
?a??1， b?3
又y??1??4
故所求的切线方程为：?y?3?4?x?1? 即：y?4x?1?0
2．设函数y?x3?4x2，求该函数的单调区间和极值． 解: 函数的定义域为：???,0???0,???
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8 令y??1?3?0 ，得驻点：x?2
x 当x????,0???2,???时，f??x??0 当x??0,2?时，f??x??0
所以：单调增区间为：???,0?，?2,??? 单调减区间为：?0,2? 极小值为：f?2??3 六、应用题（本题满分8分）
某房地产公司有50套公寓要出租．当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元整的维修费用．试问房租定为多少可获得最大收入? 解: 设房租为每月x元，
则 租出去的房子有：50?每月总收入为：
x?1800套。 100x?1800?x???R?x???x?200??50????x?200??68??
100?100???x?1?x??R??x???68????x?200?????70?
100?50??100? 令R??x??0，得唯一驻点：x?3500 由于R???3500???1?0 50?R?3500??108900为极大值。且为最大值。
故每月每套租金为3500元时，收入最高。
8
最高收入为R?3500??108900（元） 七、证明题（本题满分6分）
设f?x?可导，证明：f?x?的两个零点之间 一定有f?x??f??x?的零点． 证明: 设x1，x2为f?x?的两个零点，
令??x??f?x?ex，则??x1????x2??0， 由f?x?可导，知??x?可导。
且???x??f??x?ex?f?x?ex???f??x??f?x???ex
由罗尔定理知：存在???x1,x2?或???x2,x1?， 使得：??????0.
即：??f?????f?????e??0
由于e??0 ?f?????f????0
也即：f?x?的两个零点之间一定有f?x??f??x?的零点．
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