第 6 页 共 10 页
ADBEFCG
20.(2003,呼和浩特)如图5所示,在△ABC与△DEF中,如果AB=DE,BC=EF,只要再找出∠________=∠________或_________=_________,就可证明这两个三角形全等.
ADBEC(5)F
21.(2003,福州)如图所示,已知点A、B、C、D在同一条直线上,AB=CD,∠D= ∠ECA,EC=FD,求证:AE=BF.
EFABC
22.(2003,长沙)如图所示,若AC、BD、EF两两互相平分于点O, 请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.
DDFOAECB(6)
第 7 页 共 10 页
Ｂ卷答案 一、
1.解:∵△ADE是由△ADC折叠而得到的,∴△ADE≌△ADC, ∴∠DEA=∠DCA=90°,DE=DC,AE=AC, 设CD=xcm,则DE=x,DB=BC-CD=8-x, ∵AC=6,BC=8, ∴AB=AC2?BC2?62?82?10,
∴BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm),
222
在Rt△DBE中,由勾股定理得BD=BE+DE,
222
∴(8-x)=4+x,解得x=3(cm),即CD=3cm. 2.CM=DE+DF,
证明:作DN⊥MC,垂足为N,
∵CM⊥AB,DE⊥AB,∴四边形EDNM是矩形,∴DE=MN, ∵BA⊥MC,DN⊥MC,∴DN∥BA,∴∠NDC=∠ABC, ∵AB= AC, ∴∠ABC=∠ACB,∴∠NDC=∠FCD, ∵DN⊥MC,DF⊥AC,∴∠DNC=∠CFD=90°.
在△DNC 和△CFD中,∠DNC=∠CFD,∠NDC=∠FCD,CD=DC, ∴△DNC≌△CFD,∴CN=DF, ∵CM=MN+NC, ∴CM=DE+DF.
3.证明:(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°, ∵CF⊥AE,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,
∵BD⊥BC,∴∠DBC=90°,∠DBC=∠ECA=90°, 在△ACE和△CBD 中,∠1=∠2,AC=CB,
∴∠ECA=∠DBC,∴△ACE≌△CBD,∴AE=CD. (2)∵△CAE≌△BCD,∴CE=BD,
∵CE=
11BC,BC=AC,∴BD=AC, 22∵AC=12,∴BD=6(cm)
4.证明:(1)作DF⊥AC,垂足为F,则∠DFA=90°, ∵∠B=90°, ∴∠B=∠DFA=90°.
在△ABD和△AFD中,∠1=∠2,∠B=∠DFA,AD=AD, ∴△ABD≌△AFD, ∴DB=DF, 又∵DF⊥AC,∴AC为⊙D的切线. (2)∵∠B=∠DFC=90°,
∴在Rt△BED和Rt△FCD中,DE=DC,DB=DF, ∴Rt△BED ≌Rt△FCD,∴BE=FC, ∵△ABD≌△AFD,∴AB=AF, ∵AC=AF+FC,∴AC=AB+BE. 二、
5.解:∵在△ABC中,BD垂直平分AC,∴AD=DC,
又∵在△ADB和△CDB中,AD= CD,∠ADB=∠CDB,BD=BD, ∴△ADB≌△CDB,∴BA=BC.
∵CD=2cm,∴AD=2cm,∵∠DBC=45°,∴∠C=45°,
222
∴BD=2cm,在Rt△BCD中,有BD+DC=BC,
第 8 页 共 10 页
∴BC=BD2?DC2?22?22?22, ∴AB=22, ∵??Gh10?22,∴?80%,?F?8.8(N) FsF?4三、
6.带③去.
解:③中已知两角及其夹边作三角形是成立的,即已知:∠A、∠B及AB,求作的△ABC是惟一的,因此,应带③去.
7.解:作A点关于直线CD的对称点A′,连结A′B,交CD于P, 则P 点为饮水处,线段AP+PB即为最短路程, 理由:
在△PAC和△PA′C中,CA=CA′,∠ACP=∠A′CP,PC=PC, ∴△PAC≌PA′C,∴AP=A′P,AC=A′C, ∵∠A′CP=∠BDP=90°,∠A′PC= ∠BPD,
'PCAC?∴△A′PC∽△BPD,∴, PDBD∵CD=PC+PD=800(米),A′C=AC=400,BD=300, ∴
PC400?,
800?PC300 ∴PC≈457(米),∴PD=CD-PC=800-457=343(米). 在Rt△APC中,PA=AC2?PC2?4002?4572?607 ( 米),
在Rt△BDP中,PB=BD2?PD2?3002?3432?455.6,
∴PA+PB=607+455.6≈1063(米).
8.解:∵AC⊥AB,ED⊥DF,∴∠CAB=∠FDE=90°. 在Rt△ABC和Rt △DEF中,BC=EF,AC=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠BCA=∠EFD,
∵AC⊥AB,∴∠ABC+ ∠BCA=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°. 9.已知:AB⊥BF,ED⊥BF,垂足分别为B,D,AE交BF于C,BC=DC. 求证:DE=AB.
证明:∵AB⊥BF,ED⊥BF,∴∠ABC=∠EDC=90°. 又∵∠BCA=∠DCE,BC=DE, ∴△BCA≌△DCE,∴AB=DE. 10.已知:OM=ON,PM=PN. 求证:OP平分∠AOB.
证明:在△OPM和△OPN中,OM=ON,PM=PN,OP=OP, ∴△OPM≌△OPN,
∴∠POM=∠PON,故OP平分∠AOB. 四、(一)
11.解:原题答案:△AED≌△AFD;△AED≌△AFD,△BED ≌△CFD,△ABD≌△ACD.
(1)答案:△ABD≌ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM,△DEM ≌△DFM.
第 9 页 共 10 页
(2)答案:△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF≌△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM ≌△DEM≌DFM. (二)
12.证法一:连结AC,由AB∥CD,有∠BAC=∠DCA, 又AB=CD,AC= CA得△ABC≌△CDA, ∴BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形.
证法二:由法一知△ABC≌CDA,∴∠ACB=∠CAD, ∴BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形. 证法三:由法一知△ABC≌△CDA,∴∠B=∠D. 又∵∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
∴∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA,即∠BAD= ∠BCD, ∴四边形ABCD是平行四边形.
证法四:连结AC、BD,相交于点O, ∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∴∠ABO=∠CDO,又∵AB=CD,∴△ABO≌△CDO,∴AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形.
证法五:分别由A、D作BC的垂线,E、F为垂足, ∵AB∥CD,∴∠ABE= ∠DCF,
又∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△DCF, ∴AE=DF,∴四边形AEFD为矩形, ∴AD=EF= EF+BE-CF=BC,即AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. (三)
13.(1)证明:∵△ACM、△BCN是等边三角形, ∴∠1=∠2=60°,BC=CN,AC=CM,
∴∠1+∠3=∠2+∠3,即∠ACN=∠BCM,
在△ACN和△MCB中,AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB, ∴△ACN≌△MCB,∴AN=MB. (2)AN=BM.理由如下,
∵四边形ACMF、BCNE为正方形,∴AC=MC,CN= CB,∠2=∠1. 在△ACN和△MCB中,AC=MC,∠2=∠1,CN=CB, ∴△ACN≌△MCB,∴AN=BM. 五、
14.20° 15.D 16.AH=CB(只要符合要求即求) 17.证明:如答图所示, ∵AD∥BC,∴∠A=∠C,
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.
在△ADF和△CBE中, AD=CB,∠A=∠C,AF=CE, ∴△ADF≌△CBE,∴DF=BE.
18.BD=CE.(只要能满足△ABD与△ACE全等的条件即可). 19.△ABF≌△DEA.
证明:∵矩形ABCD,
∴AB=CD,∴∠B=90°,AD∥BC, ∴∠AFB=∠DAE, 又∵DE=CD,∴AB=DE,
第 10 页 共 10 页
∵DE⊥AF,∴∠DAE=90°, ∴∠B=∠DEA.
在△AFB和△DAE中,∠AFB= ∠DAE,∠B=∠DEA,AB=DE, ∴△AFB≌△DAE. 20.∠B=∠DEF或AC=DF
21.证明:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD.
在△EAC和△FBD中,AC=BD,∠ECA= ∠D,EC=FD, ∴△EAC≌△FBD,∴AE=BF. 22.△DOF≌△BOE.