第二章综合能力检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知点F1(－4,0)、F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为( )
x2y2
A.－＝1(x≥3) 97x2y2
B.－＝1 97y2x2
C.－＝1(y≥3) 97y2x2
D.－＝1 97[答案] A
[解析] ∵点P到F1、F2的距离之差是6，而不是距离的差的绝对值是6， ∴点P所在曲线应是双曲线的右支，由题可知，2a＝6，c＝4， ∴a＝3，c＝4，b2＝c2－a2＝7，
x2y2
∴该曲线的方程为－＝1(x≥3)，故选A.
97
2．(2010·四川文，3)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 C．4 [答案] C
[解析] 本题考查抛物线的焦点到准线的距离．
x2y2x2y2
3．椭圆＋2＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则k应满足的条件是( )
9kk3A．k>3 C．k＝2 [答案] C
[解析] k>0，c＝9－k2＝k＋3，∴k＝2.
x2y2
4．F1、F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2
ab的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( )
B．2 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [答案] A [解析] ∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1， ∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|， 11 ∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a， 22∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆． y2x|x| 5．直线y＝x＋3与曲线－＝1( ) 94A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 [答案] D y2x233 [解析] 当x>0时，双曲线－＝1的渐近线为：y＝±x，而直线y＝x＋3斜率为1,1< 9422∴y＝x＋3与双曲线的右支有一交点 又∵直线y＝x＋3过椭圆顶点k＝1>0 ∴直线y＝x＋3与椭圆左半部分有两交点，共计3个交点，选D. x2y2x2y2 6．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)与双曲线2－2＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和 abmn(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是( ) A.3 3 B.2 2 1 C. 4[答案] D 1D. 2 c＝m＋n??2 [解析] 由题意可得?c＝am ??2n2＝2m2＋c2c21c1 解得2＝，∴e＝＝. a4a2 222 7．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A．(1,0) 1 B．(，0) 161 D．(0，－) 16 C．(－1,0) [答案] C [解析] x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)． 8．已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是( ) A．4x＋6y－28＝0 B．5x－6y－28＝0 C．6x＋5y－28＝0 D．6x－5y－28＝0 [答案] D x2y2 [解析] 椭圆方程为＋＝1， 2016设M(x1，y1)、N(x2，y2) 22x1y1则＋＝1，① 2016 x2y222＋＝1② 2016 (x1－x2)(x1＋x2)(y1－y2)(y1＋y2) 两式相减得＋＝0 20164(x1＋x2) ∴kl＝－. 5(y1＋y2) x1＋x2y1＋y2 MN的中点坐标为(，)， 22∵△MBN的重心为(2,0)， ＋0 ＝2，?x＋x3 ∴?y＋y＋4?3＝0. 121 2 ??x1＋x2＝6，∴? ?y＋y＝－4.?12 6 ∴kl＝.MN的中点坐标为(3，－2)， 5 6 ∴l的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0. 5 1 9．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重 2合，则此椭圆方程为( ) x2y2 A.＋＝1 43x22 C.＋y＝1 2[答案] A x2y2 B.＋＝1 86x22 D.＋y＝1 4 [解析] ∵抛物线焦点为(－1,0)，∴c＝1， 1 又椭圆的离心率e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3， 2x2y2 ∴椭圆的方程为＋＝1，故选A. 43 x2y2 10．过点C(4,0)的直线与双曲线－＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k 412的取值范围是( ) A．|k|≥1 C．|k|≤3 [答案] B [解析] 如图所示，l1平行于y＝3x，l2平行于y＝－3x，由图可看出，当过C由l1 x2y2 位置逆时针方向转到l2位置之间的直线与双曲线－＝1的右支都有两个交点，此时k>3 412或k<－3. B．|k|>3 D．|k|<1 x2y2 11．(2010·福建文，11)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭 43→→ 圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( ) A．2 C．6 [答案] C [解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识． 由题易知F(－1,0)，设P(x，y)，其－2≤x≤2，则 →→ OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2 311 ＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2 444→→ 当x＝2时，(OP·FP)max＝6. 12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿 B．3 D．8 岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头， 向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A．(7＋1)a万元 B．(27－2)a万元 C．27a万元 D．(7－1)a万元 [答案] B [解析] 设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC) ∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km， ∴曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2. 由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2， ∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)． 以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，3)． ∴AC＝(3＋2)2＋(3)2＝27， 故y≥(27－2)a(万元)． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) x2y213．双曲线－＝1上一点P到它的一个焦点的距离为12，则点P到另一个焦点的距 259离为____________． [答案] 2或22 x2y2 14．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为________． 5m[答案] m≥1 [解析] 将y＝kx＋1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.