由m>0,5k2≥0，知m＋5k2>0，故
△＝100k2－4(m＋4k2)(5－5m)≥0对k∈R恒成立． 即5k2≥1－m时，对k∈R恒成立，故 1－m≤0，∴m≥1.
x2y2x2y200
[点评] 一般地说，如果点P(x0，y0)满足2＋2<1，则点P在椭圆2＋2＝1的内部，由
abab于直线y＝kx＋1过定点A(0,1)，故要使直线y＝kx＋1与椭圆恒有公共点，只须A在椭圆上0212
或其内部，即＋≤1，∴m≥1.
5m
15．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.
[答案] 2
[解析] 本题考查抛物线的定义． 设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)
抛物线y2＝4x，焦点为(1，c)，准线为x＝－1. |AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1. 则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
16．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2(5，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是________．
x22
[答案] －y＝1
4
[解析] 由PF1⊥PF2，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2?(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2， 由已知，||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c＝25，|PF1|·|PF2|＝2?(2a2)＋2×2＝(25)2?a2
x22
＝4?b＝c－a＝5－4＝1.则双曲线方程为－y＝1
4
2
2
2
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) x2y2
17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1的一个
ab3
焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，6)，求
2抛物线方程和双曲线方程．
[解析] 依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)， 3
∵点(，6)在抛物线上，
23
∴6＝2p×，
2
∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上， ∴c＝1，即a2＋b2＝1， 3
又点(，6)在双曲线上，
2∴
96
2－2＝1， 4ab
2
2
a＋b＝1，??13由?9解得：a2＝，b2＝. 6442－2＝1，??4ab4
∴所求双曲线方程为 4x2－y2＝1.
3
x2y2
18．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点F1、F2，它们的离心率
9254
之和为2，
5
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2的值． x2y2
[解析] (1)在椭圆＋＝1中，a2＝25，b2＝9
9254
∴c＝a2－b2＝4，焦点在y轴上，离心率为e＝
5由题意得：所求双曲线的半焦距c＝4， 44
离心率e′＝2－＝2，
55c4
又∵e′＝＝＝2
a′a′∴双曲线的实半轴为a′＝2， 则b′2＝c2－a′2＝16－4＝12， y2x2
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
412
(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P在哪一个象限，cos∠F1PF2的值是相同的，设点P是双曲线的与椭圆在第一象限的交点，其中|PF1|>|PF2|
由定义可知|PF1|＋|PF2|＝10① |PF1|－|PF2|＝4②
由①、②得|PF1|＝7，|PF2|＝3
又∵|F1F2|＝8，在△F1PF2中，由余弦定理得 |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
cos∠F1PF2＝
2|PF1|·|PF2|
72＋32－821＝＝－，
72×7×31
∴cos∠F1PF2的值为－. 7
19．(本小题满分12分)已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝42，过椭圆的左焦点F1
作直线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M＝α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN|等于椭圆的短轴的长．
[解析] 如图所示，a＝3，c＝22，b＝1，
x22
∴椭圆方程为＋y＝1.
9设过F1的直线方程为 y＝k(x＋22)．
??y＝k(x＋22)， ①∴?x22
＋y＝1. ②??9
①代入②，整理得(1＋9k2)x2＋362k2x＋72k2－9＝0， 72k2－9362k2
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝. 1＋9k21＋9k2代入|MN|＝[(x1＋x2)2－4x1x2](1＋k2)， 6(k2＋1)
整理得|MN|＝. 1＋9k26(k2＋1)3∵2＝2，∴k＝±. 31＋9k3π5π即tanα＝±，∴α＝或α＝.
366
20．(本小题满分12分)炮弹在某处爆炸，在F1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在300
F2(5000,0)处晚秒．已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么
17样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．
300
[解析] 由声速为340米/秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6000(米)，
17因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上．
因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上．
设爆炸点P的坐标为(x，y)，则
|PF1|－|PF2|＝6000，即2a＝6000，a＝3000. 而c＝5000，∴b2＝50002－30002＝40002， ∵|PF1|－|PF2|＝6000>0，∴x>0， x2y2
所求双曲线方程为－＝1(x>0)．
3000240002x2y2
21．(本小题满分12分)(2010·辽宁理，20)设椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的右焦点为F，
ab→→
过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.
(1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|＝
15
，求椭圆C的方程． 4
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0. (1)直线l的方程为y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
??y＝3(x－c)联立?x2y2得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
??a2＋b2＝1
－3b2(c＋2a)－3b2(c－2a)解得y1＝，y2＝. 3a2＋b23a2＋b2→→
因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2. 3b2(c＋2a)－3b2(c－2a)即＝2·.
3a2＋b23a2＋b2c2得离心率e＝＝. a3(2)因为|AB|＝
1243ab2151＋|y2－y1|，所以·22＝. 3433a＋b
c25515
由＝得b＝a.所以a＝，得a＝3，b＝5. a3344x2y2
椭圆C的方程为＋＝1.
95
3
1，?，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． 22．(本小题满分14分)已知，椭圆C过点A??2?(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
[分析] (1)由已知求出a、c，进而得到椭圆方程．
(2)设出AE的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，表示出xE，进而求出yE.以及xF，yF，
然后计算出kEF.考查解析几何的基本方法和计算能力．
[解析] (1)由题意c＝1，由定义|F1A|＋|F2A| ＝
94＋＋4
9
＝4＝2a， 4
x2y2
∴a＝2，∴b＝3，∴椭圆方程为＋＝1.
43
3?3x2y2
(2)设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4??2－k?243
2
－12＝0
3
1，?在椭圆上， 设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A??2?3?2
4??2－k?－123
所以xE＝，yE＝kxE＋－k 223＋4k
3?2
4??2＋k?－123＋4k2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝3
yF＝－kxF＋＋k.
2
所以直线EF的斜率 kEF＝
yF－yE－k(xF＋xE)＋2k1
＝＝，
2xF－xExF－xE
，
1
即直线EF的斜率为定值，其值为.
2