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简单学习网课后练习二
学科：数学
轮次：高考总复习课程 专题：圆锥曲线新题赏析
主讲教师：李颖 北京五中数学高级教师
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高考总复习课程
专题：圆锥曲线新题赏析 主讲教师：李颖
题一 已知椭圆C:xa22?yb22?1(a＞b＞0)的离心率为
32，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线
uuuruur与C相交于A、B两点．若AF?3FB，则k?
（A）1 （B）
题二
2 （C）3 （D）2
直线y?2k与曲线9k2x2?y2?18k2x的公共点的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
题三
??????????????????已知两点M(?1,0)、点P为坐标平面内的动点，满足|MN|?|NP|?MN?MPN(1,0)，
,
若点A?t,4?是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点,给出下列三个结论：
①当m?1时，直线AK与圆x2?(y?2)2?4相离； ②当m?1时，直线AK与圆x2?(y?2)2?4相切； ③当m?1时，直线AK与圆x2?(y?2)2?4相交． 其中，所有正确结论的序号是 .
题四
xy?1交于A,B两点，AB的中点为M，已知直线l与曲线C：?若直线AB和OM(Omn22为坐标原点)的斜率都存在，则kAB?kOM??nm.
这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”； （Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
1
① 过点P(1,1)作直线l与椭圆
的方程；
x24?y22?1交于A,B两点，求AB的中点M的轨迹W② 过点P(1,1)作直线l?与有心圆锥曲线C?:kx2?y2?1(k?0)交于E、F两点，是否存
在这样的直线l?使点P为线段EF的中点？若存在，求直线l?的方程；若不存在，说明理由. 题五 若椭圆E1:a1a2?b1b2xa221?yb221?1和椭圆E2:
xa222?yb222?1满足
?m(m?0)，则称这两个椭圆相似，m称为
其相似比。
（1）求经过点(2,6)，且与椭圆
x24?y22?1相似的椭圆
方程。
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段
1OB上），求OA?的最大值和最小值.
OB题六
设椭圆C：
xa22?yb22?1 (a?b?0)过点P(3,347), 且
y离心率e?74．
(Ⅰ)求椭圆Ｃ的方程；
(Ⅱ)过点A(2,0)的动直线AB交椭圆于点M、（其中点N位于点A、B之间），且交直线l:x?8
OMBNAN，
xl于点B（如图）．证明：|MA|?|NB|?|AN|?|MB|．
课后练习答案及详解如下： 题一
答案：选B.
详解:设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得|A1A|?????????|BF|,， AF?3FB，得|A1A|?3e
2
|AF|e,|B1B|?|BF|e,由
∴cos?BAE?选B.
题二 答案：选D
|AE||AB|?12e?33，∴sin?BAE?63，tan?BAE?2，即k=2，故详解: 曲线9kx?y?18k2222x的图象是关于坐标轴对称的图形。
y2选择题中，可取k?1，原方程变为(x?1)?29这是两个椭圆，与直线y?2?1，
有4个公共点，选D
题三
答案：② 详解:设
?????????????P(x,y)，则MN?(2,0)，NP?(x?1,y)，MP?(x?1,y)．由
??????????????????|MN|?|NP|?MN?MP，
得2(x?1)2?y2?2(x?1)，化简得y2?4x． 所以动点P的轨迹方程为y2?4x．
由点A?t,4?在轨迹y2?4x上，则42?4t，解得t?4，即A?4,4?．
当m?4时，直线AK的方程为x?4，此时直线AK与圆x2?(y?2)2?4相离． 当m?4时，直线AK的方程为y?圆心(0,2)到直线AK的距离d?2m?816?(m?4)244?m(x?m)，即4x?(m?4)y?4m?0，
2m?816?(m?4)2，
令d??2，解得m?1；
令d?2m?816?(m?4)2?2，解得m?1；
令d?2m?816?(m?4)2?2，解得m?1．
综上所述，当m?1时，直线AK与圆x2?(y?2)2?4相交；当m?1时，直线AK 3
与圆x2?(y?2)2?4相切；当m?1时，直线AK与圆x2?(y?2)2?4相离．正确结论的序号是②.
题四
答案：轨迹W的方程为x2?2y2?x?2y?0；故当k??1时，存在这样的直线，其直线方程为y??kx?k?1；当k??1,且k?0时，这样的直线不存在. 详解：（Ⅰ）证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)2?x12y1??1??mn?22?x2?y2?1 ?n?m(x1?x2)
相减得
(x1?x2)(x1?x2)m?(y1?y2)(y1?y2)n?0注
意到
x1?x2?2x0,y1?y2?2y0
有
2x0m?2y0(y1?y)2n(x1?x2)?0?
y?1x?1y0y1?y2n???x0x1?x2myx
即
kAB?kOM??12
nm
（Ⅱ）①设M(x,y),则kAB?即
,kOM?由垂径定理，kAB?kOM??y?1y1???化简得 x2?2y2?x?2y?0 x?1x2
当AB与x或y轴平行时，M的坐标也满足方程.
故所求AB的中点M的轨迹W的方程为x?2y?x?2y?0；
② 假设过点P(1,1)作直
l?与有心圆锥曲线C?:kx2?y2?1交于E、F两点，且P
22为EF的中点，则kEF?kOP??k直线l?:y??k(22
由于kOP?1,?
kEF??k
x?1)?，即y??kx?k1?，代入曲线C?的方程得
kx?(?kx?k?1)?1
得k??1.
即
k(k?1)x?2k(k?1)x?k(k?2)?02222 由
??4k(k?1)?4k(k?1)(k?2)?0故当k??1时，存在这样的直线，其直线方程为y??kx?k?1；
4