当k??1,且k?0时，这样的直线不存在.
题五
答案：椭圆方程为
xa22x216?y28?1；OA?1OB的最大值为
94，OA?1OB的最小值为
524。
详解:（1）设所求的椭圆方程为
?yb22?22???a2?16?ab解得?2 ?1，则有?46?b?8??2?12?b?a∴所要求的椭圆方程为
x216?y28?1
1OB（2）①当射线与y轴重合时，OA?=2?122?524
②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形。
设其方程为y?kx（k?0,x?0），设A(x1,y1)，B(x2,y2)
4?2y?kxx??22?2k?1?2?121?2k由?x 解得? OA? y22??14k1?2k??y12?2?42?1?2k?16?2y?kxx??212?4k?1?2?21?2k由?x 解得? OB? y22??116k1?2k??y12?8?162?1?2k?OA?1OB?2k2?12?1?2k4k22
1?2k?1
令t?OA?2k1OB2?12 则由t?12t2k2?12?12t4k2?421?2k1?2k1?2k?2?21?2k2 知2?t?2
?t?, 记f(t)?t?，则f(t)在(2,2]上是增函数，∴
f(2)?f(t)?f(2)，
∴
542?OA?1OB?94 由①②知，OA?1OB的最大值为
94，OA?1OB的最小值
5
为
524。
题六
答案：椭圆C的方程为：
x216ba22?y29?1.
详解: (Ⅰ) 由已知，得
?1?e?2916，故可设所求椭圆方程为
x216?y29 ?m，
将点P(3,x2347)的坐标代入上式，得 m?1． ∴ 所求椭圆C的方程为：
16?y29?1
(Ⅱ) 设M(x1,y1)，N(x2,y2)，要证原等式成立，只要证
|MA||MB|?|AN||NB|?2?x18?x1?x2?28?x2
?5(x1?x2)?x1x2?16.??? ① 以下证明①式成立．
证明：设MB：y?k(x?2)，由
?y?k(x?2)?222222?(9?16k)x?64kx?64k?144?0 y?x??1?169?
由韦达定理，得 x1?x2?64k229?16k22，x1x2?264k2?14429?16k，
2∴5(x1?x2)?x1x2?5? 于是，①式得证．
64k9?16k?64k?14429?16k?16(9?16k)9?16k2?16
另证：∵ M、A、N、B共线， ∴可设MA??MB，AN??NB，(?,??0)
6
又设M(x1,y1)，N(x2,y2)，B(8,y)， 于是，有
?2?x1??(8?x1)?x2?2??(8?x2) 和 ????y1??(y?y1)?y2??(y?y2)8??2?x??1??1 和 ? ??y?y1???1?8??2?x?2????1 ， ??y?y2????1?2??8??2?2??y???16???144?9?????1????1?∵ M、N在椭圆上，∴ ? 22??y?8??2??9??????16????144????1??1??????9(4??1)2?4(?y)2?36(??1)2， ? ?222?9(4??1)?4(?y)?36(??1)两式相减并整理，得： (???)(y2?27)?0， ∴ ??? 于是由假设得：?
??|MA|??|MB|??|AN|??|NB|?|MA||AN|?|MB||NB|?|MA|?|NB|?|AN|?|MB|．
7