2018届高三年级第一次模拟考试(二)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 若集合A＝{－2，0，1}，B＝{x|x2>1}，则集合A∩B＝________．
2. 命题“?x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题．(选填“真”或“假”) 3. 若复数z满足z·2i＝|z|2＋1(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．
4. 若一组样本数据2 015，2 017，x，2 018，2 016的平均数为2 017，则该组样本数据的方差为________．
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
(第5题) (第12题)
6. 函数f(x)＝
1
的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的lnx
每个面上分别标有点数1，2，?，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为________．
7. 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．
8. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．
x2y2
9. 在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)
ab的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．
x－y≤0，??
10. 已知实数x，y满足?2x＋y－2≥0，则x＋y的取值范围是________．
??x－2y＋4≥0，
11. 已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，
则k－b的值为________．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA＋OC＝2OB，则φ＝________．
→1
13. 在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP＝
4→→→→
BA＋λBC(λ∈R)，则BA·BP的取值范围为________．
14. 已知在△ABC中，AB＝AC＝3，△ABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2
＝3，则△ABC面积的最大值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，3bsinC＝ccosB＋c. (1) 求角B的大小；
11
(2) 若b2＝ac，求＋的值．
tanAtanC
16. (本小题满分14分)
如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，Q是棱PC上异于P，C的一点．
(1) 求证：BD⊥AC；
(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.
17. (本小题满分14分)
已知小明(如图中AB所示)身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从点M发出，小明在地面上的影子记作AB′.
(1) 小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB′扫过的图形面积；
π
(2) 若OA＝3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，∠OAA1＝，3且AA1＝10米．t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位：米)，求f(t)的表达式与最
小值．
18. (本小题满分16分)
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，A是椭圆的
ab左顶点，过原点的直线与椭圆交于M，N两点(点M在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.→→4
已知AM⊥MN，垂足为M，且OA·OM＝b2.
3
(1) 求椭圆C的离心率e； (2) 若S△AMN＋S△POF＝10
a，求椭圆C的标准方程． 3
19. (本小题满分16分)
已知各项均为正数的无穷数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝a(其中a为常数)，nSn＋1
＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)(n∈N)．数列{bn}满足bn＝
*
2an＋a2n＋1(n∈N*)．
anan＋1
(1) 证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； (2) 若无穷等比数列{cn}满足：对任意的n∈N*，数列{bn}中总存在两个不同的项bs，bt(s，t∈N*)，使得bs≤cn≤bt，求{cn}的公比q.