13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
知识点一 等腰三角形的性质
1.在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,AD为BC的中线,则∠BAD的度数是( ) A.50° B.80° C.40° D.100°
知识点二 等腰三角形的判定
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4 C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
( )
拓展点一 利用“等边对等角”解答角的和差问题
1.
如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA=115°时,∠EDC= ,∠DEC= ;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.
拓展点二 利用“等边对等角”解决等腰三角形一腰上的垂直平分线问题
2.
如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠DBC=15°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠A的度数是( ) A.50° B.60° C.70° D.80°
拓展点三 利用“等边对等角”解决三角形两边上的垂直平分线问题
3.导学号15314110如图,在△ABC中,MP和NQ分别垂直平分AB和AC,若∠PAQ=40°,则∠BAC的度数是( )
A.140° 4.
B.110° C.100°
D.70°
拓展点四 利用“等角对等边”解决三角形一角的平分线和一条平行线的有关问题
导学号15314111如图,在△ABC中,AB=AC,D,E两点分别在AC,BC上,BD是∠ABC的平分
线,DE∥AB,若BE=5 cm,CE=3 cm,则△CDE的周长是 ( ) A.15 cm B.13 cm C.11 cm D.9 cm
拓展点五 利用“等角对等边”解决三角形两角的平分线和一条平行线的有关问题
5.
如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于D点,过D点作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点.求证:EF=BE+CF.
拓展点六 利用等腰三角形的“三线合一”证明线段相等
6.
如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:DE=DF.
1.(2016·广西贺州)一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( ) A.12 B.16 C.20 D.16或20 2.(2016·山东枣庄)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )
A.15°
B.17.5°
C.20°
D.22.5°
图
,
已知
( )
3.导学号15314112(2016·贵州六盘水)如AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,…,若∠A=70°,则∠An-1AnBn-1的度数为
A.4.
B.
C.
D.
导学号15314113(2016·四川甘孜州)
如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.
导学号15314114(2016·湖北天门)
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,点E在AD上,请写出图中两对全等三角形,并选择其中的一对加以证明.
6.(2016·广东河源和平期中)
已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角,CE,CF分别平分∠ACB,∠ACD,EF∥BC,分别交AC,CF于点H,F.求证:EH=HF.
7.
导学号15314115
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过B作BE⊥AD于点E,过点E作EF∥AC交AB于点F,求证:AF=BF. 8.
导学号15314116如图,
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是点D,AE平分∠BAD,交BC于点E,EH⊥AB,垂足是点H.在AB上取一点M,使BM=2DE,连接ME.求证:ME⊥BC.
参考答案
13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形
练基础 1.C 解析 ∵AB=AC,∠B=50°,∴∠C=50°.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=80°.
∵AD为BC的中线,∴∠BAD=∠BAC=40°.故选C.
2.B 解析 选项A,∵a=3,b=3,c=4,∴a=b. ∴△ABC是等腰三角形;选项B,
∵a∶b∶c=2∶3∶4,∴a≠b≠c.∴△ABC不是等腰三角形;选项C, ∵∠B=50°,∠C=80°,∴∠A=180°-∠B-∠C=50°.∴∠A=∠B.∴AC=BC.∴△ABC是等腰三角形;选项D,∵∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,∴∠A=∠B.∴AC=BC.∴△ABC是等腰三角形.故选B.
练提能 1.解 (1)25° 115° 小
(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE.理由:∵∠C=40°,∴∠DEC+∠EDC=140°.∵∠ADE=40°, ∴∠ADB+∠EDC=140°. ∴∠ADB=∠DEC. ∵∠B=∠C=40°,AB=DC=2,∴△ABD≌△DCE(AAS). (3)当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE的形状是等腰三角形.理由:∵∠BDA=110°, ∴∠ADC=70°.∵∠C=40°,∴∠DAC=70°,∠AED=∠C+∠EDC=40°+(70°-40°)=70°.∴∠DAC=∠AED.∴△ADE的形状是等腰三角形.当∠BDA的度数为80°时,∠ADC=100°.∵∠C=40°,
∴∠DAC=40°.∴∠DAC=∠ADE,∴△ADE的形状是等腰三角形. 2.A 解析 ∵MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD.
∴∠A=∠ABD.∵∠DBC=15°,∴∠ABC=∠A+15°.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=∠A+15°. ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°,解得∠A=50°.故选A.
3.B 解析 ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,∴AP=BP,AQ=CQ.∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C.
∵∠PAQ=40°,∴∠B+∠C+∠BAP+∠CAQ=2(∠BAP+∠CAQ)=180°-∠PAQ=140°. ∴∠BAP+∠CAQ=70°.∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=110°.故选B. 4.B 解析 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵DE∥AB,∴∠DEC=∠ABC=∠C,∠ABD=∠BDE.∴DE=DC.∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠DBE.∴∠DBE=∠BDE.
∴BE=DE=DC=5 cm.∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13(cm).故选B. 5.证明 ∵∠ABC,∠ACB的平分线相交于D点,
∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD.∴∠EBD=∠EDB,∠FCD=∠FDC. ∴BE=DE,CF=DF.∴EF=BE+CF. 6.
证明 如图,连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点, ∴∠EAD=∠FAD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F, ∴DE=DF.
练中考 1.C 解析 当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在;当8为腰时,8-4<8<8+4,符合题意.故此三角形的周
长=8+8+4=20.故选C. 2.A 解析
如图所示,∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A, ∴2∠1=2∠3+∠A. ∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°.故选A.
3.C 解析 ∵在△ABA1中,∠A=70°,AB=A1B,
∴∠BA1A=70°.∵A1A2=A1B1,∠BA1A是△A1A2B1的外角,∴∠B1A2A1==35°.同理可得∠
B2A3A2=17.5°,∠B3A4A3=×17.5°=,∴∠An-1AnBn-1=.故选C.
4.C 解析 ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵ED∥BC,∴∠CBD=∠BDE.∴∠ABD=∠BDE.∴BE=DE,△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD.∵AB=3,AD=1,∴△AED的周长=3+1=4.故选C.
5.解 △ABE≌△ACE,△EBD≌△ECD,△ABD≌△ACD.以△ABE≌△ACE为例,证明如下:∵AD平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
6.证明 ∵EF∥BC,∴∠HEC=∠ECB.∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ECA.∴∠ECA=∠HEC.∴EH=HC.同理HC=HF,∴EH=HF.
练素养 7.证明 如图所示,
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵EF∥AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AF=FE.∵BE⊥AD,∴∠3+∠5=90°,∠1+∠4=90°.∴∠4=∠5.∴FE=FB.∴AF=BF. 8.证明 ∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∵EH⊥AB于点H,∴△BEH是等腰直角三角形.∴HE=BH,∠BEH=45°.∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,∴DE=HE.∴DE=BH=HE.∵BM=2DE,∴HE=HM.∴△HEM是等腰直角三角形.∴∠MEH=45°.∴∠BEM=45°+45°=90°.∴ME⊥BC.