?E?iR(T2?T1)， 2i?2R(T2?T1)= -58.17(J)． 2其中i表示双原子分子的自由度：i = 5．空气吸收的热量为 Q = ΔE + A =
负号表示空气放出热量．因此，制冷机从空气中吸收的热量为：Q2 = -Q = 58.17(J)．
空气是低温热源，为了简化计算，取平均温度为：T`2 = (T2 + T1)/2 = 292(K)； 环境是高温热源，温度为：T`1 = 313(K)．
欲求制冷机提供的最小机械功，就要将制冷当作可逆卡诺机，根据卡诺循环中的公式
Q1T1?， Q2T2T1`可得该机向高温热源放出的热量为：Q1?`Q2= 62.35(J)，
T2因此制冷机提供的最小机械功为：W = Q1 - Q2 = 4.18(J)．
[注意]由于低温热源的温度在变化，所以向高温热源放出的热量的微元为
i?2T1`RdT2`， dQ1?`dQ2，其中dQ2??dQ??2T2`i?2`dT2因此：dQ1??RT1`，
2T2积分得制冷机向高温热源放出的热量为：Q1??Ti?2RT1`ln2= 62.35(J)， 2T1与低温热源取温度的平均值的计算结果相同（不计小数点后面2位以后的数字）．
第十二章 真空中的静电场
12．1 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.8×10-9C，B点处有点电荷q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强．
[解答]根据点电荷的场强大小的公式 A q 1q1q，其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2． E?k2?2r4??0rE2 B C 点电荷q1在C点产生的场强大小为： θ q2 ?9E1 E q111.8?1094-1
E1?4??0AC2?9?10?(3?10?2)2?1.8?10(N?C)
图12.1
方向向下．
点电荷q2在C点产生的场强大小为
|q2|4.8?10?994-1E2??9?10??2.7?10(N?C)， 2?224??0BC(4?10)1方向向右．
C处的总场强大小为
2E?E12?E2?0.913?104?3.245?104(N?C-1)，
总场强与分场强E2的夹角为??arctanE1?33.69?． E2
12．2 半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强． ds R θ O Ex x Ey E y [解答]在带正电的圆弧上取一弧元 ds = Rdθ，电荷元为dq = λds， 在O点产生的场强大小为
dE?1dq1?ds???d?，
4??0R24??0R24??0R场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．
对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为
E?2Ey??dEsin?
L??2??0R?/6?0sin?d???(?cos?)2??0R?/6
0Ex θ O E Ey ds R y x ?(1?3?．
)22??0R
12．3 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；
（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．
[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)． 在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，
根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为
y dq?dldl dE1?k2? 2lx r4??(x?l)0 r L d1 场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得
P1 x ?dl?1E1? ?2?4??0?L(x?l)4??0x?l?L?1112L?． ① ?(?)?224??0x?Lx?L4??0x?L将数值代入公式得P1点的场强为
LL-L o 2?0.1?3?10?8E1?9?10?= 2.41×103(N·C-1)， 220.18?0.19方向沿着x轴正向．
（2）建立坐标系，y = d2．
在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl， 在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为
dE2?kdq?dl， ?22r4??0r由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．
由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ， 所以 dl = -d2dθ/sin2θ， 因此 dEy?总场强大小为
dE2 y dEy θ P 2 dEx r d2 -L L θ o x lx dl ??sin?d?，
4??0d2?sin?d??cos??4??d02l??LL??Ey?4??0d2Ll??L??4??0d2ld?l222L
l??L?12L?2224??0d2d?L9． ②
将数值代入公式得P2点的场强为
2?0.1?3?10?8= 5.27×103(N·C-1)． Ey?9?10?221/20.08(0.08?0.1)方向沿着y轴正向．
[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得
E1??a?1， ?4??0d1d1?a4??0d1d1/a?1E1?保持d1不变，当a→∞时，可得
?， ③
4??0d1ad?(a/2)222这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．
（2）由②式得
Ey??4??0d2??4??0d21(d2/a)?(1/2)22，
当a→∞时，得 Ey??， ④
2??0d2这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．
12．4 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零． [解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强． 在圆弧上取一弧元 ds =R dφ， R 所带的电量为
O θ dq = λds，
在圆心处产生的场强的大小为
dE?kdq?ds???d?， 22r4??0R4??0Rdφ 图12.4
由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为
dEx = -dEcosφ． 总场强为
Ex???4??0R2???/2??cos?d????4??0R2???/2sin??/2
R φ O θ x /2dE ???sin，方向沿着x轴正向． 2??0R2 E`` R O θ E` x 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．
根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为
E`??，
4??0R`Ex?2E`cos由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为
?2???cos，方向沿着x轴负向．
2??0R2`x当O点合场强为零时，必有Ex?E，可得 tanθ/2 = 1， 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．
b a P d Q 图12.5
12．5 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为ζ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强．
[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为dλ = ζd x， 根据直线带电线的场强公式E??， 2??0r，其方向沿x轴正向．
y 得带电直线在P点产生的场强为
dE?d?2??0r?b/2?dx2??0(b/2?a?x) b dx O
a 由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为
E??1??dx?ln(b/2?a?x)?/2b/2?a?x2??0?b2??0?b?ln(1?)． ① 2??0ab/2P x ?b/2场强方向沿x轴正向．
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为dλ = ζd x， 带电直线在Q点产生的场强为
dE?d?2??0r??dx2??0(b?x)221/2，
沿z轴方向的分量为
dEz?dEcos???cos?dx， 221/22??0(b?x)2
x r O d y b dx 设x = dtanθ，则dx = ddθ/cosθ，因此
θ z ?dEz?dEcos??d?
2??0积分得
arctan(b/2d) Q dE Ez???bd??arctan()． ② ?2????02d0?arctan(b/2d)场强方向沿z轴正向．
[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ = ζb， ①式的场强可化为
E??ln(1?b/a)， 2??0ab/a当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
E??， ③ 2??0a这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为Ez??arctan(b/2d)，
2??0db/2d当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
Ez??，
2??0d这也是带电直线的场强公式．
当b→∞时，可得：Ez??， ④ 2?0这是无限大带电平面所产生的场强公式．
12．6 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？
（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？ [解答]点电荷产生的电通量为Φe = q/ε0．
（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．
（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．
12．7 面电荷密度为ζ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．
[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球R 2O 面内包含的电荷为 q = πRζ，
通过球面的电通量为 Φe = q/ε0，
通过半球面的电通量为Φ`e = Φe/2 = πR2ζ/2ε0．
12．8 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．
[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以
E = 0，（r < R1）．
（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl，穿过高斯面的电通量为
?e???E?dS??EdS?E2?rl，
SS根据高斯定理Φe = q/ε0，所以
E??， (R < r < R)．
12
2??0r（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以
E = 0，（r > R2）．
12．9 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内
S1 E 外各点的场强．
E [解答]方法一：高斯定理法．
S1 （1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且S0 d 2r S0 对称于中心面：E = E`．
S2 在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两 表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 E` S2 E` ?e?E?dS?E?dS?E?dS?E?dS
?S?S1?S2?S0 ?ES?E`S?0?2ES，
高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =ρV = 2ρrS， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①
（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，
高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =ρV = ρSd，