数学建模竞赛论文
论文题目： 贫困生等级认定问题
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2011 年 5 月 2 日
基于模糊层次分析法的贫困生等级认定模型
摘要
本文利用层次分析法和模糊数学方法建立数学模型，利用MATLAB、LINGO、EXCEL软件求解，完成贫困生等级认定。本文根据题目要求，认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内，所以全部的贫困生人数应该要控制在207人。根据附件一有申报贫困生总人数为291人。由于资金和政策的限制，并不是每位申报者都能得到贫困资助，2010年12月，国家提高大学生的资助标准，国家助学资助标准从原来生均2000提高到3000。因此，贫困生等级认定工作突现了新的问题，给与不给相差悬殊，一般贫困和不贫困很难界定等等。为了避免这种尴尬，本模型通过公平分配的方法很好的解决了问题。根据附件一的申报者的自述，所给出的说明并不是很具体，为此本组对所给数据进行分析、细化、归类，在借助聚类分析理论，建立了估算家庭可供给该学生生活费的金额模型，通过估算家庭收入的权重、支出（包括生活支出、教育支出、医疗支出、意外支出等）的权重，得到该学生生活费的权重，应用聚类分析，判定该生的贫困情况。本文将其转化为具体的数据，通过权值和“钱值”这两个概念的转换，利用excel和层次分析法的MATLAB的求解得到了了一组数据（附表三）。根据这组数据的大小，本文采取从高到低取值，得到家庭情况相对贫困的207位同学的具体信息。根据最小二乘法的原则，利用LINGO软件进行求解，得到A等助学金为62人，B等为104人，C等41人。根据数据的大小来确定贫困生等级的认证，附表一得到
2结余的“钱值”和附表二层次分析法得到的数值设立它们的权值为，再
5利用层次分析法得到数据，根据A、B、C等助学金人数多少来确定贫困生等级的具体信息。
关键词：助学金，等级认定，“钱值”，权值，模糊数学，层次分析法
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问题重述
每年9月下旬，贫困生认定工作在全校启动。该项工作根据学校“家庭经济困难学生认定工作实施办法”（东华理工发【2008】27号）具体实施。该项工作由学生资助管理中心负责，具体由各学院的认定工作领导（工作）小组进行认定。认定对象涉及在校就读的二本、三本、高职所有年级的学生。认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内。
2010年12月，国家提高了资助标准，国家助学资助标准从原来生均2000提高到3000。因此，贫困生等级认定工作突现了新的问题，给与不给相差悬殊，一般贫困和不贫困很难界定等等。假设贫困生的等级为3档，A等（一般贫困，约占贫困生的30%），B等（比较贫困，约占贫困生的50%），C等（特别贫困，约占贫困生的20%），尝试用数学建模的方法给出一种定量的，且易于实施的贫困生等级评定方法，并根据附件1所给各年级家庭经济困难情况表，对申请者进行贫困等级认定（各年级总人数见表一）。
表一 各年级的总人数汇总表
年级 2004级 2005级 2006级 2007级 2008级 2009级 2010级 总人数 62 62 123 137 140 189 118
问题分析
本文要用到的数学方法是层次分析法，故先对一些概念做如下定义： 定义一 若矩阵A?(aij)m?n满足 (Ⅰ) aij?o, (Ⅱ)aij?1(i,j?1,2,……，n) aji则称之为正互反矩阵（aii=1）
定义二 满足关系式（aiiajk?aik,?i,j,k?1,2,……，n）的正互反矩阵成为一直矩阵。
本文讨论的是贫困生等级认证问题。作为贫困生，本文主要根据其家庭的具体情况分析。家庭情况包括：家庭年收入，家庭老、中、少各有多少人，家庭成员接受教育与否，家人患病具体情况，家处区域，是否遭受天灾人祸，是否低保，单亲还是孤儿，家庭债务情况等各个方面进行具体分析。
本文对以上各个方面都进行了非常具体的分析。对家庭收入、消费支出、教育支出、医疗支出本文利用“钱值”代替权值，这对于本文的数据处理非常方便，而且能更清晰的表达出贫困程度。家庭成员的具体组成本文细化为老中少三种类型，由于这些人的消费情况各不相同，本文给出老人的年均生活消费为1500元，成人年均生活消费为2500元，未成年人的年均生活消费为2000元。根据附件1给出的描述得到每个家庭的人员组成情况，得到以下表达式（1），错误！未找到引用源。为家庭年均消费支出：
2
S1??aixi(ai为第i种人，xi为第i种人群的日常消费指数，i=1,2,3)
i?13家庭成员的接受教育情况，本文考虑的为高等教育，高中，初中及以下教育情况。根据教育程度的不同，它们的学费情况也有所差异，大学为6000元每人每年，高中4000元，初中及以下2000元。据此，有表达式2，错误！未找到引用源。为教育支出：
S2??biyi(bi为接受第i种教育人数，yi为第i种教育的学费，i=1,2,3)
i?13对于贫困家庭的医疗支出也是一笔很大的消费，本文分三种等级来讨论家庭成员的患病情况，并且给出了医疗费用。老人为2000元每年，父母为3000元，其他成员为1500元每年。得到表达式（3），错误！未找到引用源。为医疗支出：
S3??cizi(ci为第i种人数，zi为第i种人的治疗费用，i=1,2,3)
i?13每位家庭的收入情况根据题目附件1的具体描述，同时参考统计年鉴得到的尽可能符合该家庭的收入数据。以上的各种数据的处理结果见附表（1）。由于这些数据都是用钱值表示的，本文根据excel中的常用函数可以得到每个家庭当中消费余额。本文用的是消费总数减去收入得到的结余，得到的数越大说明该家庭越困难，值越小或者撒负值越大则该家庭相对富裕。
对于另外的六种因素，分别为老少边穷地区(a)、遭受自然灾害（b）、低保(c)、单亲(d)、孤儿(e)、负债情况(f)，本文给出了它们之间的权值，得到如表一的矩阵错误！未找到引用源。然后通过层次分析法得到了具体的数值。它们之间的权值表二：
表二
a b c d e f a 1 1/2 1/3 1/2 1/3 2/5 b 2 1 2/3 1 2/3 4/5 c 3 3/2 1 3/2 1 6/5 d 2 1 2/3 1 2/3 4/5 e 3 3/2 2/3 3/2 1 6/5 f 5/2 4/5 5/6 5/4 5/6 1 在表一的各个权值中，Aij=1，且Aij?0，该矩阵为正互反矩阵。本文的分级Aji较多，因此还要进行一致性检验：AijAjk?Aik满足该式则为一致矩阵。经过MATLAB软件的运行，得到一致性指标CI=0.0112,一致性比例为CR=0.009.当CR<0.1时认为判断矩阵的一致性是可以接受的。通过层次分析法得到的结果见附录一。
附录一与附表一的数据进行层次分析法，它们之间的权重本文设定如下表三：
表三
a b
3
a b 1 2/5 5/2 1
?0.9285?利用MATLAB求解得到它最大特征值为2，特征向量为：??。
?0.3714?模型假设
1．每位学生的描述都是真实的，符合该生家庭的实际情况； 2．假设所有的贫困生学生都具有贫困生认定资格； 3．假设在认定期间，每个家庭不会有很大的变化； 4．假设本文所设权重是符合标准的；
5．假设所给数据真实、有效，符合每位学生家庭的具体情况； 6．本文所给的家庭年收入数据符合实际情况。
符号说明
Si 学生家庭的第i项消费总和
C1 家庭的资金结余与其他家庭的相对权重 C2 代表影响家庭贫困的其他因素得值
a 代表农村或者边远地区对家庭贫困的影响
b 代表意外灾害或者是意外事故对家庭贫困的影响 c 代表低保对家庭贫困的影响
d 代表单亲家庭对家庭贫困的影响系数 e 孤儿在评定家庭贫困中所在的比重
f 家庭所欠债务的多少相对与其他家庭的比重
Bi 家庭收入、生活支出、教育支出、医疗支出对家庭贫困的影响 Di 低保、孤儿、单亲、债务情况、贫困地区、其他状况对家庭贫困的影响
A 每一个学生的贫困度或贫困系数
W2 家庭的资金结余与影响家庭贫困的其他因素的比重向量 D2 每一个学生的贫困度或贫困系数
W4 贫困地区、其他状况、低保、孤儿、单亲、债务情况的权重向量 D4 每一个学生其他影响家庭贫困程度因素的相对权重的的值 CI 权重矩阵的一致性指标 CR 一致性比率
A 获得A等奖学金的人数 B 获得B等奖学金的人数 C 获得C等奖学金的人数
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