?x2?y2?z2?0（1）?；
?y?x5．求螺旋线
?(x?1)2?y2?(z?1)?4（2）?
?z?0?x?acos???y?asin? ?z?b??在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
6．求曲线
?x2?y2?3yz?2x?3z?3?0 ?y?z?1?0?在zOx面上的投影曲线的方程。
7．指出下列方程所表示的曲线
?x2?y2?z2?25（1）?
x?3??x2?4y2?z2?25（3）?；
x??3??y2z2??1?（5）?9。 4?x?2?0?
?x2?4y2?9z2?30（2）?；
z?1??y2?z2?4x?8?0（4）?；
y?4?习题10—1
1．已知函数f(x,y)?x2?y2?xytanx，试求f(tx,ty)。 y2．已知函数f(u,v,w)?uw?wu?v。试求f(x?y,x?y,xy)。 3．求下列各函数的定义域：
111??（1）u?； xyz（2）u?R2?x2?y2?z2?4．函数z?
y2?2xy?2x21x?y?z?r2222(R?r?0)。
在何上是间断的？
习题10—2
1．设函数z?x2?xy?y，
（1）求函数在点(x0,y0)处的偏增量?xz,?yz和全增量?x；
26
（2）当x从2变到2.1，y从2变到1.9时，求?xz,?yz与?z的值各为多少？ 2．设z?(1?xy)y，求
?z?xx?1y?1及
?z?yx?1y?1
3．设f(x,y)?x?y?x2?y2，求fx(2,4)。 y??z?4．设z?ln?x??，求
?y2x??。
x?1y?0??????5．设f(x,y)?e?xsin(x?2y)，求fx?0,?及fy?0,?。
?4??4?6．设u?ln(1?x?y2?z3)，当x?y?z?1时，求ux?uy?uz。 7．求下列函数的偏导数
x（1）z?lntan； （2）z?arcsin(yx)；
y?1?（4）z????3??y/x（3）z?sinyx?cos； yx；
（5）z?xyesin?xy；
（6）z?ln(x?lny)；
（7）z?xsiny； （8）u??et??e???t； （9）u?e???cos(???) x??z?1?x2?y28．求曲线?在点(1,1,3)处的切线与纵轴正向所成的角度。
??x?19．求下列函数的全微分：
x?y（1）z?exy?ln(x?y)； （2）z?arctan （3）z?sin(xy)
1?xy（4）z?x2?y2x2?y2；
（5）z?2xe?y?3x?ln3； （6）u?ex(x（8）u?ln(3x?2y?z)；
2?y2?z2)；
（7）u?xyx； （9）u?arctan(x?y)2。
10．求下列函数在给定点处的全微分： （1）z?x4?y4?4x2y2，（1，1）；
????（2）z?xsin(x?y)?ex?y,?,?。
?44?11．试示当x?2，y??1，?x?0.02，?y??0.01时，函数z?x2y3的全微分及全增量的值。
习题10—3
1．设z?u2v?uv2,u?xcosy,v?xsiny,求2．设z?u2lnv,u?3．设z?arctan
?z?z,。 ?x?yx?z?z,v?3x?2y，求,。 y?x?yx,x?u?v,y?u?v，证明 y27
?z?zu?v。 ??2?u?vu?v2x2?z?z,x?u?2v,y?v?2u，求4．设z?,。 y?u?v5．设z?(2x?y)2x?y，求6．设z?yf(x2?y2)?z?z,。 ?x?y，其中f 可微函数，验证
1?z1?zz??2。 x?xy?yy7．设z?F(x,y),x?rcos?,y?rsin?，求8．设z??z?z。 ,?r??ydz。 ,x?et,y?1?e2t，求
xdtdz。 dtdz。 dt9．设z?ex?2y,x?sint,y?t3，求
10．设z?arcsin(x?y),x?3t,y?4t3，求11．设z?arctan(xy),y?ex，求
dz。 dx1dz12．设z?tan(3t?2x2?y),x?,y?t，求。
tdt13．设u?eax(y?z)a2?1,y?asinx,z?cosx，求
du。 dx14．设z?ln15．设z?x?x2?y2y，x?cost,y?sint，在t??2处，求全导数的值。
1x?yln,x?sect,?2sint，在t??处，求全导数的值。 2x?y16．设z?arctany?zdz。 ,y?x2，求,x?xdx?zdz。 ,?xdx17．设z?xy,y??(x)，求
习题10—4
1．设
x2a2?y2b2?1，求
dy。 dx28
2．设sin(xy)?exy?x2y?0，求3．设lnx2?y2?arctandy。 dxydy，求。 xdx?z?z4．设x?2y?z?2xyz?0，求,。
?x?y5．设ez?xyz?0，求
?z?z和。 ?y?x?z?z和。 ?y?x6．设x2?y2?z2?2axyz?0，求7．设
xz?z?z?ln，求和。 zy?y?x8．求由方程2xz?2xyz?ln(xyz)?0所确定的函数z?z(x,y)的全微分。
9．求由方程组
22??z?x?y ?222??x?2y?3z?20所确定的隐函数的导数
10．地由方程组
dydz和。 dxdx?xu?yv?0 ?yu?xv?1?所确定的隐函数的偏导数
?u?u?v?v,和,。 ?x?y?x?y习题10—5
1．求下列函数的二阶偏导数： （1）z?sin(ax?by) （4）z?ylnx；
x（2）z?arcsin(xy)； （5）z3?3xyz?a3；
（3）z?x2y；
（6）x?y?z?e?(x?y?z)。
?2z?2z?2．设z?e(cosy?xsiny)，验证。 ?x?y?y?x3．设f(x,y,z)?xy2?yz2?zx2，求fxx(0,0,1),fxx(1,0,2)，及fzxy(2,0,1)。 ?2u?2u?2u,,4．设u?f(x,xy,xyz)，求。 ?y?x?z?y?x?z5．设u?f(x?y?z)，求
222?2u?x2。
29
6．设u?f(s)?g(t),s?x?y,t?x?y，验证
?2u?x2??2u?y2。
习题10—6
1．求函数z?x2?xy?2y2在点（1，2）沿着与x轴正向构成60?角的方向导数。 2．求函数z?x2?2x2y?xy2?1在点（1，2）沿着从该点到点（4，6）的方向导数。 3．求函数z?lnx2?y2在点（1，1）沿着第一象限角平分线的方向导数。
4．求函数u?xy?yz?zx在点（2，1，3）沿着从该点到点（5，5，15）的方向导数。
习题11—1
t???1．求曲线x?t?sint,y?1?cost,z?4sin在点??1,1,22?处的切线及法平面方
2?2?程。
t1?t2．求曲线x?,y?,z?t2在点t?1处的切线及法平面方程。 2t1?t3．求曲线x?acost,y?asint,z?bt在t?处的切线及法平面方程。
44．在曲线x?t,y?t2,z?t3上求一点，使在该点的切线平行于平面x?2y?z?4。 5．求曲面ez?z?xy?3在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。 6．求曲面3x2?y2?z2?27在点（3，1，1）处的切平面及法线方程。 7．求曲面x2?xy?8x?z?5?0在点（2，-3，1）处的切平面及法线方程。
8．求曲面z?ax2?by2在点（x0,y0,z0）处的切平面及法线方程。
9．求椭球面3x2?y2?z2?16上点（?1，?2，3）处的切平面与平面z?0的夹角。
?习题11—2
1．求函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2的极值。
2．求函数f(x,y)?(2ax?x2)(2by?y2)的极值，其中，ab?0。 3．求函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极值。 4．求下列已知函数在指定条件下的极值： （1）z?xy，若x?y?1； （3）u?x?y?z，若
（2）z?x2?y2，若
xy??1， ab111??，x?0,y?0,z?0。 xyz5．从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。 6．在半径为a的半球内求一个体积最大的内接长方体。
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