习题12—1
1．证明Riemann积分中值定得。
习题12—2
1．求2．求3．求
??D?0?x?1xexydxdy的值，其中，D:?。
?1?y?0??1?x?2的值，其中，。 D:?23?y?4(x?y)?dxdy?0?x?1ex?ydxdy的值，其中，D:?。
0?y?1???D??D4．求
??D??0?x??x2ycos(xy2)dxdy的值，其中，D:?2。
??0?y?25．按照下列指定的区域D将二重积分
??f(x,y)dxdy化为累次积分：
D（1）D:x?y?1,x?y?1,x?0所围成的区域；
（2）D:y?x,y?3x,x?1,x?3所围成的区域；
（3）D:y?2x?0,2y?x?0,xy?2在第一象限中所围成的区域； （4）D:x?3,x?5,3x?2y?4?0,3x?2y?1?0所围成的区域； （5）D:(x?2)2?(y?3)2?4所围成的区域。 6．改变下列累次积分的积分次序： （1）（3）（5）
?dy?01yyf(x,y)dx; （2）
??e110dxdx?lnx0x2f(x,y)dy；
?1?1dx?1?x20f(x,y)dy； （4）
?0f(x,y)dy?2ax2ax?x2?31dx?1(3?x)20f(x,y)dy；
?1?1dx?1?x2?1?x2f(x,y)dy； （6）
?2a0dx?f(x,y)dy。
7．计算下列二重积分： （1）（2）（3）（4）
??(x?6y)dxdy,D:y?x,y?5x,x?1所围成的区域；
D??Dydxdy,D:y?2x,y?x,x?4,x?2所围成的区域； xydxdy,D:y?2,y?x,xy?1所围成的区域； x2??DD??(x?y2)dxdy,D:y?x,y?x?a,y?a,y?3a(a?0)所围成的区域。
8．把下列直角坐标形式的累次积分变为极坐标形式的累次积分：
31
（1）（3）
?2R0dyR2?2Ry?y20f(x,y)dx； （2）dx?R0dx?R2?x20f(x2?y2)dy；
?1?R0dx?Rx0?y?f??dy??x??RR1?R2?R2?x20?y?f??dy。 ?x?9．将下列二重积分变成极坐标形式，并计算共值： （1）（2）（3）
??ln(1?xD2?y2)dxdy，D为圆x2?y2?1所围在第一象限中的区域；
??DR2?x2?y2dxdy，D为圆x2?y2?Rx所围在第一象限中的区域；
??DDarctanydxdy，D为圆x2?y2?4,x2?y2?1及直线y?x,y?0围成的第一x象限内的区域；
（4）
??sinx2?y2dxdy,D:x2?y3?4?2,x2?y2??2。
习题12—3
1．利用下列给出的积分区域，把
???f(x,y,z)dxdydz化为三次积分：
V（1）由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的区域V； （2）由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所围成的区域V。 2．计算下列三重积分：
??1?x?1dxdydz?V:（1），其中，?1?y?2； 3(x?y?z)?1?z?2V????V（2）
???(1?x?y?z)Vdxdydz3，其中，V:x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成的四面体。
3．利用柱面坐标计算下列三重积分： （1）
???zx2?y2dxdydz，其中，V：柱面y?2x?x2及平面z?0,z?a(a?0)，
y?0所围成的区域； dxdydz222V（2），其中，：锥面及平面z?1所围成的区域。 x?y?z22x?y?1V???V4．利用球面坐标计算下列三重积分： （1）
???(x???V2?y2)dxdydz，其中，V：半球面z?A2?x2?y2,z?a2?x2?y2（A?a?0）及平面z?0所围成的区域；
（2）
(x2?y2?z2)dxdydz，其中，V：球面x2?y2?z2?1围成的区域。
32
5．适当选择坐标计算下列三重积分： （1）
???Vxydxdydz，其中，V：柱面x2?y2?1及平原z?1,z?0,x?0,y?0所围
成的在第一卦限内的区域；
zln(x2?y2?z2?1)（2）dxdydz，其中，V：球面x2?y2?z2?1所围成的222x?y?z?1V???区域。
习题12—4
1．求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所截下部分的曲面面积。 2．求球面x2?y2?z2?a2为平面z?3．计算平面
aa,z?所夹部分的曲面面积。 42xyz???1被三个坐标面所割出部分的面积。 abc4．求直线y?x上，由x?0至x?4的一段线段绕x轴旋转所得的旋转曲面的面积。 5．求抛物柱面y?x,y?2x及平面z?0,z?x?6所围成的物体（密度为1）的质量。
6．求由球面x2?y2?z2?1围成的，密度为??x2?y2的球面的质量。
7．求旋转抛物面z?x2?y2及平面z?1(x?0,y?0)所围成的物体的质量（密度为??x?y）。
8．求由圆锥面z?1?x2?y2与平面z?0所围立体的重心（密度??1）。 9．求由旋转抛物面z?x2?y2与平面z?1所围立体的重心（密度??1）。
10．求半径为R，高为h，密度??1的均匀圆柱体，绕过中心而平行于母线的轴的转动惯量。
11．求半径为R，高为h，密度??1的均匀圆柱体，绕过中心而垂直于母线的轴转动时的转动惯量。
12．一个物体是由两个半径各为R和r(0?r?1?R)的同心球面围成的，已知材料的密度与到球心的距离成反比，且在距离等于1处时，密度为r，求物体的全部质量。 13．球面x2?y2?z2?2Rz上任一点的密度在数量上等于此点到坐标原点的距离的平方，试求球体的重心。
习题12—5
1．求2．求3．求
?Ldl，其中，L是点A（0，?2）到点B（4，0）的直线段。 x?y??Lxydl，其中，L是由x?0,y?0,x?4,y?2所围成的矩形路线。
?x?acost(0?t?2?)。 (x2?y2)ndl，其中，L为圆周?Ly?asint?33
4．求5．求6．求
???x?a(cost?tsint)(0?t?2?)。 (x2?y2)dl，其中，L为曲线?Ly?a(sint?tcost)?L(x?y)dl，其中，L为以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的边。
?Lydl，其中，L为抛物线y2?2px由点O(0,0)到点A(x0,y0)的一段弧。
?x?tcost?7．求zdl，其中，?为有界的螺线?y?tsint(0?t?t0)。
??z?t??8．求
???x?acost?，其中，为螺线dl??y?asint(0?t?2?)。 22x?y?z?at?z2习题12—6
1．求
??Sf(x,y,z)dS，其中，S为抛物面z?2?(x2?y2)，在xOy平面上的部分，
f(x,y,z)分别如下：
（1）f(x,y,z)?1； 2．求3．求
（2）f(x,y,z)?x2?y2；
（3）f(x,y,z)?3z。
??SS4?xyz??z?2x?y?dS，其中，S为平面??=1在第一卦限中的部分。
3?234?dS2??(1?x?y)S，其中，S为平面x?y?z?1及三个坐标所围成的四面体的表面。
4．求
??(x?y?z)dS，其中，S为上半球面z?习题13—1
a2?x2?y2。
1．求曲线r(t)?ti?t2j?t3k上的点，使该点的切线平行于平面x?2y?z?4。 2．求曲线r(t)?etcosti?etsintj?etk在t?0处的切线和法平面方程。
?(Psint?Qcost)?R，其中，P,Q,R均为常向量，求函数X(t)。
dt24．一质点以常角速度在圆周r?ae(t)上运动，其中e(t)为圆函数。证明其加速度为
d2X3．已知
w??v2a2r，
2?0其中，v为速度v的模。
5．设r??asin?i?acos?j?bk，求S?
12?(r?r?)d?。
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习题13—2
1．指出下列数量场所在的空间区域，并指出其等值面： （1）u?1；
Ax?By?Cz?D （2）u?arcsinzx?y22。
x2?y22．求数量场u?经过点M(1,1,2)的等值面方程。
z13．求数量场u?ln对应于u?1的等值面，其中，
rr?(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2。
习题13—3
1．求一段弧。
2．求
??L(x2?y2)dx，其中，L是抛物线y?x2上从点O（0，0）到点A（2，4）的
Lydx，其中，L是由直线x?0,y?0,x?2,y?4围成的按逆时针方向绕行的
矩形回路。
3．求
??(1,1)(0,0)xydx?(y?x)dy，沿曲线：
（2）y?x2；
（3）y2?x；
（4）y?x3。
（1）y?x； 4．求5．求
Lydx?xdy，其中，L为圆周x?Rcost,y?Rsint由t1?0到t2??2的弧段。
?Lydx?zdy?xdz，其中，?为曲线x?acost,y?asint,z?bt上从t1?0到
t2?2?的曲线弧段。
6．求
??(y2?z2)dx?2yzdy?x2dz，其中，?为曲线x?t,y?t2,z?t3上从t1?0到t2?1的曲线弧段。
7．求
??xdx?ydy?(x?y?1)dz，其中，?是从点（1，1，1）到点（2，3，4）
?L的直线段。
8．把第二类曲线积分
P(x,y)dx?Q(x,y)dy化成第一类曲线积分，其中，L为沿
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