高数级数理论部分练习
11．6．11
一．填空
(?1)n?11．级数?的和为 。
nn?1?2．把函数
11? 。 展开成x?1的幂级数到：
1?x1?x?3．级数??1?1?的和为 。
??2n?n?1?n(n?1)?2,???x?04．设f(x)是以2?为周期的周期函数，在???,??上的表达式为f(x)??，则在x?0处f(x)4,0?x???的傅里叶级数收敛于 。
x2n?15．幂级数?的收敛区间为 。
n?12n?1?6．若幂级数
?an?0n?nx在x??3时收敛，则幂级数?anxn在x?3时是否绝对收敛？ nn?0??7．若
limun???0，则级数?un收敛，对么？ （ ）
n?18．若f(x)在[??,?]上是以2?为周期的按段光滑函数，则
___,x为连续点?__________a0?___,x为f(x)的间断点 ??(ancosnx?bnsinnx)=?__________2n?1?_____________,x?????9．
1(a?0)，当a= 时收敛。 ?n1?an?1?10．级数
?un?1??n的部分和数列{Sn}有界，则级数
???un?1?n收敛。 （ ）
11．若级数
?un?1?n与
?vn?1n都发散，则
?(un?1n（ ） ?vn)也发散。
12．若级数
?un?1n发散，则limun?0。 （ ）
n??13．若级数
?un?1n?n收敛，那么它的变序级数一定收敛。 （ ）
14．若
?un?1?（ ） (x)在[a,b]上收敛于s(x)且每个un(x)都在[a,b]上连续，则s(x)也在[a,b]上连续。
二．选择题
1．下列级数中收敛的是（ ）
???4n?8n4n?8n4n?2n2n?4n（A）? （B）? （C）? （D）?。 nnnn8888n?1n?1n?1n?1??2．若级数
??un?1n收敛，则下列级数中（ ）收敛。
?（A）?(un?0.001) （B）?un?1000 （C）?un （D）?1000。
n?1n?1??n?1n?1un3．设
?un?1??n?2，则下列级数中和不是1的为（ ）
?unun （D） ??n?22n?12??11（A）? （B）?n （C）
n?1n(n?1)n?124．将函数f(x)?e??x2展开成x的幂级数得到（ ）
???x2n(?1)nx2nxn(?1)nxn（A）? （B）? （C）? （D）?
n!n!n!n!n?0n?0n?0n?05．下列级数条件收敛的是（ ） （A）
?(?1)n?1?n1??n11nn （B）?(?1) （C） （D） (?1)(?1)??2n?1n(n?1)nnn?1n?1n?1n?6．
?n?lnn （ ）
n?2?cosn?A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、可收敛也可能发散 7．
?(?1)n?1?n?1(x?1)n的收敛域为 （ ） nA、??2,0? B、??2,0? C、??2,0? D、??2,0? 8．下列级数中条件收敛的是（ ）
???n1n1n1A、?(?1) B、?(?1) C、?(?1) D、 ?2n?1nnnn?1n?1n?1n?1n???9．若级数
?un?1n和
?Vn?1n都发散，则（ ）
A、
?(un?1n???n?Vn)必发散；B、?unVn发散；C、?(un?Vn)必发散 D以上说法都不对
n?1?10．
limun?0是级数?un收敛的 。
n?0?A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。
11．下列命题正确的是 ． (A) 若
?un?1??n与
?vn?1?n都发散，则
??(un?1?n?vn)也发散．
(B) 若
?un?1n收敛，而
?vn?1n发散，则
??(un?1?n?vn)必发散．
(C) 若un?vn(n?1,2,…)且
??vn?1n绝对收敛，则
?un?1?n必收敛．
(D) 级数
?un?1n收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．
12．下列命题正确的是 ．
(A) 绝对收敛级数的变序级数一定收敛． (B) 若
???un?1n?n为条件收敛级数，则
??u
n?1
?
2n
一定发散．
(C) 若
?un?1n发散，则 limun?0． (D) 若
n???un?1收敛，则
?un?12n也收敛．
三．计算与证明
1．求幂级数?n2xn的收敛域及和函数。
n?1?2．讨论?1n?1?在a?0时的敛散性。
n1?a3．设f(x)??x?x,(???x??)的傅里叶级数为a0??(ancosnx?bnsinnx)，求系数b3。
2n?12?(x?3)n4．求幂级数?的收敛域与收敛半径。 2nn?1?(2x?1)n5．求幂级数?的收敛域和收敛半径。
nn?1?6 判别级数
(1?cos)的敛散性。 ?nn?12n?12nx的收敛域与和函数。 ?n!n?1????7．求幂级数
xn8．求幂级数?的收敛域及和函数。
n?1n(n?1)111xn????的和。 9．求级数?的收敛域，并求出它的和函数，由此求出231?32?33?3nn?1???1,0?x???210．将f(x)??，在[0,?]上展开成余弦级数，并求出它的和函数。
??0,?x????2x2x3x4x5xn?1n?111．确定级数??????(?1)??的收敛域，并求和函数。
1?22?33?44?5n(n?1)12．求级数
nnx在其收敛域x?1中的和函数。 ?n?1n?12?13．求级数(2?x)??3233394x?x?x??的收敛半径及和函数 4816xn14. 求?的和函数。
n?0n?115．将函数f(x)?x在[0,?]上展开为正弦级数、余弦级数。
16．求幂级数
?(?1)n?1?n?1nxn的和函数。
参考答案 一．填空
n1?n(x?1)1． ln2 2. ?(?1) 3、 0 4、3 5、(?1,1) 6、绝对收敛 7．× 2n?02n??f(x)??f(x?0)?f(x?0)8．? 9、?1； 10．×； 11×12×13×14×
2??f(???0)?f(??0)?2?二．选择
1 、C 2、B 3、C 4、B 5、A 6. B； 7．B；8. B；9、C；10、A；11．B 12．A
三．计算与证明
?n2n2x??11. R?lim当时，级数成为(?1)n发散，所以收敛域为(?1,1)。 ?1,?n??(n?1)2n?1'?????x?'?x(x?1)????2n?1nn。 S(x)?x?nx?x??nx??x?x??x???x?x????3n?1?n?1?????1?x???(1?x)??n?1???1110?a?1??0lim?1?0，所以级数发散。2. 当a?1时，lim,所以级数发散。当时，nn??1?ann??21?a????1111a?1a?1/?1当a?1时，lim，而在时收敛，所以时收敛。 ??nnn??1?anana1?an?1n?1'''?222???xcos3x??。 3. b3?(?x?x)sinnxdx??xsin3xdx??xdcos3x0???33??????301?21?(x?3)n?14. ??limn??(n?1)2(x?3)n?x?3?1??4?x??2，当x??4和x??2时级数收敛，所以收敛2n?2?(?4)?1。 2域为??4,?2?。收敛半径为R?(2x?1)n?15. ??limn??n?1??(2x?1)n(2x?1)n当x??1时，收敛，当x?0?2x?1?1??1?x?0，?nnn?11(2x?1)n时，?发散，所以收敛域为??1,0?，收敛半径为R?。
2nn?16. 因为1?cos?n?0,n?1,2,...，且当n??时，1?cos?n?2sin2?2n~?22n2，而