?2nn?1??22收敛，所以
(1?cos)收敛。 ?nn?1??7. R?lim2n?12n?3???，收敛域为(??,??)。
n??n!(n?1)!'2n?12n??x2n?1???(x2)nx?????n!?????x?n!n!n?1?n?1??n?1??x2??xe???'?????(2x'2?1)ex?1。
218. R?limn??n(n?1)令
?xn1都收敛，所以收敛域为??1,1?。?1，而当x??1时，级数?(n?1)(n?2)n?1n(n?1)xn?n?1n(n?1)?=
S(x)，
xn?1f(x)?xS(x)??n?1n(n?1)? ,则
f(x)??xn?1?''n?1?11?x，于是
S(x)?1?9．??1?xln(1?x),x???1,0???0,1?，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。 xlimn??n?1?1?R?1 ∴收敛域为[?1,1) nx?S(x)??x0xdxx2??S(x)dx??(?)dx????ln(1?x)
001?xnn?1?111n113令x???()? ????ln3n?1n31?32?32210．bn?0(n?1,2?)
a0???22?0f(x)dx?1
an???f(x)cosnxdx???2?20cosnxdx?2n?sin(n?1,2?) n?2??1,0?x??2?1?2n???sincosnx??0,?x?? f(x)~??2n?1n?2?2??1,x??22?11、??limn??n(n?1)?1
(n?1)(n?2)?R?1
?收敛域为：(?1,1]
?(x?1)ln(1?x)?x,?1?x?1 S(x)??x??1?1,12.
1nn?x=?(1?)xn Sx=?n?1n?1n?1n?1?xnxxn=?x?? ???1?xn?1n?1n?1n?1n?1?n???xxn?1?(x)??xn?令S1(x)??，S1
1?x1?nn?1n?0?xn1?xn?11=??sinx ? S1(x)??x?ln(?x)，则?xn?11?nxn?1n?1?? S(x)=
11?ln(1?x),(x?0) 1?xxn213.公比r??33x，一般项(?1)nnxn(n?2,3?) ，令f(x)?(2?x)2?f1(x) 22n?12??limn??32n?132n2n2a123x23； ?R? , f1(x)? ??1?r234?23x?f(x)?(2?x)?f1(x)?(2?x)?23x24?23x
14. ??limn??n?1?1 ?R?1 , 从而收敛域为[?1,1) n?2xn?xs(x)?设S(x)??n?0n?1?xn?1 ?n?0n?1??(xS(x))???xn?n?0?1 (x?1) 1?x?xS(x)??1dx??ln(1?x) (?1?x?1)
01?xx1? 当x?0时，有S(x)??ln(1?x), S(0)?limS(x)?1
xx?0?1??ln(1?x),x?[?1,0)?(0,1) ?S(x)??x??1,x?015．将函数f(x)?x在[0,?]上展开为余弦级数。
解：要把f(x)?x在[0,?]上展开为余弦级数，先将f(x)延拓成[??,?]上的偶函数，再延拓成以2?为周期的周期函数，则
bn?0(n?1,2,3,?)
a0?f(x)dx??xdx?? ???002?2?ak?2???0?0,?f(x)coskxdx??xcoskxdx?2[(?1)?1]??4?,?0k????k22?2kk为偶数k为奇数
于是由收敛定理有：
f(x)~另一个类似. 16．求幂级数
?2??4?cos3xcos5xcos(2k?1)x???x，(0?x??)。 cosx???????222????35(2k?1)?n?1n的和函数。 (?1)nx?n?1??an?1(?1)n?2(n?1)n?1n解：因为lim，所以幂级数的收敛半径为R?1。又因为当(?1)nx?lim?1?n?1n??an??(?1)nn?1n??x??1时级数发散，所以?(?1)n?1n?1nx的收敛域为(?1,1)。设S(x)??(?1)n?1nxn，则由逐项求导定理
nn?1有：
S(x)??(?1)n?1?n?1nx??x?(?1)nxnnn?1?n?1??x?d(?1)nxn n?1dx???d??d??x?x? ??x??(?x)n???x???2dx?n?1dx1?x(1?x)???即： S(x)?x， x?(?1,1)。
(1?x)2