教育资源 一、选择题
1．(2015·长春模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
1A．2， 2C．－3,2 答案：A
λ＋12??＝，2λ解析：由题意知?6
??2μ－1＝0，
11
B．－，
32D．2,2
λ＝2，??解得?1
μ＝?2?
λ＝－3，??
或?1
μ＝.?2?
→→→→→→
2．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝( ) A．－1 C．1 答案：B
→→→
解析：如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c， →→→→→→则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC
＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a ＝0.
3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，→→→→→→→→
现用基向量OA，OB，OC表示向量OG，设OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x，y，
B．0 D．不确定
z的值分别是( )
111A．x＝，y＝，z＝ 333111B．x＝，y＝，z＝ 336111C．x＝，y＝，z＝ 363111D．x＝，y＝，z＝ 633答案：D
→→→
解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
1
教育资源 →2→
∵G分MN所成的比为2，∴MG＝MN，
3→→→→2→→∴OG＝OM＋MG＝OM＋(ON－OM)
311?12?1
＝a＋?b＋c－a? 23?222?1111＝a＋b＋c－a 2333111＝a＋b＋c. 633故应选D.
→→→→→→→→
4．(2015·宝鸡模拟)已知四边形ABCD满足AB·BC>0，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，则该四边形为( )
A．平行四边形 C．长方形 答案：D
解析：由条件可知四边形ABCD中，相邻两边的夹角都是钝角，结合选项可知其应为空间四边形，故应选D.
5．(2015·武汉模拟)如图，二面角α－l－β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为( )
B．梯形 D．空间四边形
A．2a B.5a C．a D.3a 答案：A
→→
解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°， →→→→
且AC·BA＝0，AB·BD＝0， →→→→∵CD＝CA＋AB＋BD， →∴|CD|＝＝a＋a＋
2
2
CA＋AB＋BDa2
→→→
2
＋2a·2a·cos 120°＝2a.
2
教育资源 →→
6．(2015·杭州摸底考试)已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝xOA＋
yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＋y＋z＝1”是“点P位于平面ABC内”的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案：C
→→→→
解析：已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＋y＋z＝1”是“点P位于平面ABC内”的充要条件，证明如下：
必要性：依题意，知A，B，C三点不共线，则四点A，B，C，P共面?对空间任一点O，→→→→→→→→→→
存在实数x1，y1，使得OP＝OA＋x1AB＋y1AC＝OA＋x1(OB－OA)＋y1(OC－OA)＝(1－x1－y1)OA＋
→→
x1OB＋y1OC.
→→→→
取x＝1－x1－y1，y＝x1，z＝y1，则有OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1.
→→→→
充分性：对于空间任一点O，存在实数x，y，z且x＋y＋z＝1，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC，所以x＝1－y－z，得
→
→→
OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC＝OA＋yAB＋zAC.
→→→
即AP＝yAB＋zAC，所以四点A，B，C，P共面． 故应选C. 二、填空题
7．(2015·台州模拟)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6，a·b→→→→→→
＝30，则
a1＋a2＋a3
＝________.
b1＋b2＋b3
5答案： 6
解析：设向量a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，由已知及向量数量积的定义，得
a·b＝|a||b|cos θ＝5×6×cos θ＝30，
所以cos θ＝1，所以θ＝0°， 所以a∥b.
又因为a与b均为非零向量，且|a|＝5，|b|＝6， 66
所以可得b＝a，即(b1，b2，b3)＝(a1，a2，a3)，
55
3
教育资源 a1a2a35从而有＝＝＝，
b1b2b36
得
a1＋a2＋a35
＝.
b1＋b2＋b36
→→
8．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以AB，AC为边的平行四边形的面积为________．
答案：73
→→
解析：由题意，可得AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)， →→
AB·AC－2＋3＋671→→
∴cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.
→→14214×14|AB||AC|3→→
∴sin〈AB，AC〉＝.
2
→→
∴以AB，AC为边的平行四边形的面积为
S＝|AB| |AC|sin〈AB，AC〉＝14×→→→→
3
＝73. 2
9．(2015·郑州模拟)已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP→→
上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．
?448?答案：?，，? ?333?
→→
解析：设OQ＝λOP＝λ(1,1,2)＝(λ，λ，2λ)， ∴Q(λ，λ，2λ)，
→
∴QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， →
QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
→→2
∴QA·QB＝6λ－16λ＋10，
4?448?故当λ＝时有最小值，此时Q坐标是?，，?. 3?333?10．(2015·徐州模拟)给出下列命题： →→→→
①AB＋BC＋CD＋DA＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件； ③若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；
→1→1→
④若OP＝OA＋OB，则P，A，B三点共线．其中正确命题的序号是________．
23答案：①
4
教育资源 解析：①显然成立；
②|a|－|b|＝|a＋b|，符号成立的条件是a，b反向，而a与b共线的方向为相同或相反，②错误；
③中，任意两个向量都是共面向量，显然③不正确；
11→1→1→④中，OP＝OA＋OB，系数之和＋≠1，因此P，A，B不共线，④不成立．
2323综上，正确命题的序号只有①. 三、解答题
→→
11．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC. (1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值． 解：(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a|＝1＋1＋0＝2， |b|＝－
2
2
2
2
＋0＋2＝5，
22
a·b－110
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
|a||b|1010
即a与b的夹角的余弦值为－
10
. 10
(2)解法一：∵ka＋b＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k－8＝0， 5
∴k＝2或k＝－，
2
5
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－. 2解法二：由(1)，知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，
52222
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝ka－ka·b－2b＝2k＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－.
212．(2015·汕头模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在
2
CC1上，且AE＝FC1＝1.
5