教育资源 (1)求证：E，B，F，D1四点共面；
2
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.
3解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，
→→→
则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)． →→→→→→
所以BD1＝BE＋BF.故BD1，BE，BF共面．
又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面．
?2?(2)设M(0,0，z0)，G?0，，0?， ?3?
2→?→?则GM＝?0，－，z0?，而BF＝(0,3,2)， 3??2→→
由题设，得GM·BF＝－×3＋z0·2＝0，
3解得z0＝1.
→
故M(0,0,1)，有ME＝(3,0,0)． →→
又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)， →→→→
所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0， 从而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC＝B， 故ME⊥平面BCC1B1.
13．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，
M，N分别是A1B1，A1A的中点．
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教育资源 (1)求→
BN的模；
(2)求cos〈BA→→
1，CB1〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.
解：(1)如图，建立空间直角坐标系C－xyz.
依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴|→BN|＝
－
2
＋－
2
＋－
2
＝3.
(2)依题意，得
A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴BA→＝(1，－1,2)，CB→→→
11＝(0,1,2)，BA1·CB1＝3， |BA→|＝6，|CB→
11|＝5， →→
∴cos〈BA→
→
BA1·CB1
1·CB1〉＝
＝30|BA→→10
. 1||CB1|
(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)，M??1?2，12，2???
， A→1,1，－2)，C→11
1B＝(－1M＝???2，2
，0???
.
∴A→B·C→
M＝－11112＋2＋0＝0，
∴A→B⊥C→11M， ∴A1B⊥C1M. 7