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行列式的计算
马志娥
(西北师范大学数学与统计学院, 甘肃, 兰州 , 730070)
摘要: 行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.本文介绍了几种
特殊而且行之有效的行列式的计算方法.
关键词: 范德蒙行列式; 降阶法; 升阶法; 递推法; 数学归纳法; 代数余子式的计算; 拉普拉斯定
理展开
符号说明: ri 表示第 i行
cj 表示第j列
Mij 表示行列式元素aij的余子式 Aij 表示行列式元素aij的代数余子式
kri?rj 表示第 i行的k倍加到第j行 kci?cj 表示第 i列的k倍加到第j列
The Calculation of the Determinant
MA Zhi-e
(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University,
Lanzhou 730070, Gansu, China)
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Abstract: The determinant is an important tool to study many disciplines, so the calculation of the
determinant is a commonly concerned problem. Several particular and effective methods of calculating the determinant are introduced in this paper.
Key words: Vandermonde determinant; reducing order method; ascending order method; recursive methods;
mathematical induction; calculation of algebraic complement; method of Laplace expansion;
引言
使用行列式按行（列）展开,可以将行列式写成低一阶的行列式的代数和,从而将行列式降一阶.但是,由于展开式是n项代数和,因此计算量任很大,可以考虑一些减少计算量的方法,并且选择最佳计算方法.行列式是研究许多学科的重要工具,因此行列式的计算是大家共同关注的问题.课本中只介绍了几种计算方法,本文主要介绍几种特殊而且行之有效的行列式的计算方法,具有针对性.
一、化行列式为三角行列式
使用行列式的性质将行列式化为三角行列式 ㈠ 箭形行列式
111?1120?0例1.1 计算行列式Dn?103?0
?????100?n1??解 Dn?1cj?c1?jj?2,?3n,1j?2jn1201?0?3?1n01 ?n!(1??) 0j?2j00?0????00?n㈡ 可化为箭形的行列式
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x1a1a2x2a2?a2a3?ana3?anx3?an?xi?ai,i?1,2,?n? ???a3?xn例1.2 计算n阶行列式Dn?a1?a1ri解 Dn?i??r12??,nx1a1?x1xa?1x1?a1?x1a2?a20?0a302x?3a?0a2x2?a210?0n?an?0?0?xi?ai,i?2,?n? 3???xn?an箭形行列式a3x3?a301?0?????anxn?an00?1a3x3?a301?0?????anxn?an00?1x1x1?a1 =??xi?ai?i?1n?1?1??11??k?1?xi?ai,i?2,?n?
xkxk?ak00?0a2x2?a210?0 =cj?c1j?2,?n??xi?ai?i?1n?xi?ai,i?2,?n?
n?xk?n ??1?????xi?ai?
?k?1xk?ak?i?1㈢ 行（列）和相等的行列式
xa?aax?a例1.3 计算n阶行列式Dn?
????aa?xx??n?1?aa?a1x??n?1?ax?a1??x??n?1?a????????x??n?1?aa?x1ax?a????aa ?x1解 Dn?jj?2,?nc?c3
?ri?i??r12,?n1a0x?ax?n?1a????????00?n?1??a?a
???x?a???x??n?1?a???x?a?
㈣ 相邻行（列）元素差1的行列式
以数字1,2?n为（大部分）元素,且相邻两行（列）元素相差1的n阶行列式可如下计算:
自第一行（列）开始,前行（列）减去后行（列）,或自第n行（列）开始,后行（列）减去前行（列）,即可出现大量元素为1或?1的行列式.
例1.4.1 计算n阶行列式Dn?aij,其中aij=i?j 解 由aij=i?j得
01Dn=2?101?210??n?2n?1?1?1??ri?1?rii?1,2,?n?11?1?1??111?1??1????111?1111?0?n?3n?2?n?4n?3??0100?2??2?????10000?n000?0n?1?1??1
n?2n?3n?4?n?1n?2n?3??1?1c1?cjj?2,3,?n??11n?1n?2n?3?0?2?2??2 ??1??1
??2n?12n?32n?4?1? ???n?1n?221 ?n??123?n23?n?134?45????n1?n12?n?1例1.4.2 计算n阶行列式Dn=
n?1n1?n?3n?212?n?24
111?2211?11?n211?13?n?1n1?1???1?311?1?n11?1n?11?1n?1 11n解 Dn??ri?1?rii?n,n?1?,111?n?1 ?jj?2,3,?nc?cn?n?1?200?00?n?1?11?n?1?n1 ????11?111?n ?按c1展开11n?n?1??211?n11?1?n1?????11?n?11?1n1 ?11n?11 ?jj?2,3,?nc?c?11?11n?n?1???2?11?n?11?11?n?1?n1 ????11?11n?1?0?n??n0 ????00?00n?1
?10?10n?n?1???2?1?n?10 ?j1?2j,?3n,c?c?n?1??n?2?n?n?1?n?1 ???1?2??1?nn?2
2 ???1?n?n?1?2n?1n?1n 2
二、利用范德蒙行列式结果计算
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