当行列式各行（列）都是某元素的不同次幂的形式,使用行列式的性质将行列式整理成范德蒙行列式.
1x1例2 计算行列式Dn?1x2x22?x2n?2x2n???1xn2xnx12?x1n?2x1n???xnn?2?xnn
解 考虑n?1阶范德蒙行列式
1x1x12Dn??x1n?2x1n1x1x12f?x???xxxn?21n?11n11x2x22?x2n?2x2n1x2x22??1?xn2?xn???xnn?2?xnn????1xn2xn?n?21xx2?xxn?1xnn?2
??x?x1??x?x2???x?xn?x2?xnx2n?1?xnn?1x2n?xnnn?21?j?i?n??x?x?ijn?1显然,Dn就是辅助行列式f?x?中元素xn?1的余子式Mn,n?1,即
Dn=Mn,n?1=??1?n?n?1An,n?1??An,n?1.
n?1而由f?x?的表达式知,x的系数为An,ijn?1???x?1?x2??nx??ix?? jx1?j?i?n?Dn??x1?x2??xn?1?j?i?n??x?x?
三、降阶法
使用行列式的性质将行列式的某行（列）化为只有一个非零元素,然后按这一行（列）展开,这样就可以将行列式降一阶,每展开一次,行列式的次数可以降低一阶,如此继续进行直到将行列式降到二阶行列式并求其值.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.
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x000?yyx00?00?0y?0x?00?y??x0?00000yx例3 计算n阶行列式Dn?
解 Dn?按c1展开x0x00nyx00?0y0??0xy?n?1???1?y?y0???x00xn?100 0y ?xn???1?yn?xn???1?yn
四、升阶法
升阶法（也称加边法或镶边法）,是在原行列式的基础上增加一行一列（即升一阶）且保持原行列式不变的情况下计算行列式的一种方法.可用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点,且化简后常变成箭形行列式.
a1?b1a2?a2??anan?a1?a1a2?b2?例4.1 计算n阶行列式Dn??b1b2?bn?0?
aa0b?0?an??2?00?n?1?an?bn1a1a1?a1a2a?a222????ananan?n?11=i??r1?ri1120a1?b1?1b2?,n3,解 Dn?加边0?0a2?b?10??
?an?bn?10?bn1??cj?1najj?1bja1b10?0a2?an0b2?0?0?0???bn
??c1bjj?1,2?n00?0n?17
na?j ?b1b2?bn?1???j?1bj?? ???x12?1例4.2 计算n阶行列式Dn?x1x2?xnx2xn??x1xnx2xn?nx2x1?xnx1???x22?1?
2?xn?11x1x2x1?xnx11?x1x110?0nx2x1x2?xnx201?0x110?00x12?1x1xnx2xn?解 Dn?加边0?0x22?1?
2?xn?1n?1x2?xn????00
?1i?1r1?ri ?i??x2,3,?n?1?x2??xn1??xi2i?1x2?xn01?0????00?1 ?xj?1cj?c1j?2,3,?n?100?0
?1??xi2
i?1n
五、递推法
使用行列式的性质,将所求的n阶行列式Dn用同样形式的n?1阶行列式Dn?1表示出来,建立Dn与Dn?1之间的递推关系,有时还可以将Dn用同样形式的比n?1阶更低阶的行列式表示,建立他们之间的递推关系,从而找到递推公式,最终求出n阶行列式的值.
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x?1x?1x???1x?1??aixn?i
i?1n例5.1 证明Dn?anan?1an?2?a2a1证明 Dn?按c1展开?1x?1n?1xDn?1???1?an?xDn?1?an
??x?1?Dn?xDn?1?an?x?xDn?2?an?1??an ?x2Dn?2?an?1x?an ?x3Dn?3?an?2x2?an?1x?an ??
?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an
0aa?ab0a?a例5.2 计算n阶行列式Dn?bb0?a
?????bbb?0解 将Dn中第n列元素表示成两数之和,然后拆成两个行列式相加,即
0aa?b0a?Dn?bb0?????0aa?a?0a?0a?0 ?a0aa?a?????b?000
abbb?a???a?b0a?ab0 ?bb0?a?bb0????????bbb?abb将上式等号右边第一个行列式从第二行起,每一行的??1?倍加到上一行,将第二个行列式按第n列展开,
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得,
?b0Dn?0?ba0?0?ba?00?b?0?aDn?1 ?b?b???a将上式等号右边第一个行列式按第n列展开，得 Dn?a??b?n?1?aDn?1 … ①
由字母a与b的对称性显然有 Dn?b??a?n?1?bDn?1 … ②
联立①②得,
n?1??D?aD?a?b??n?1?n? ?n?1???Dn?bDn?1?b??a???当a?b时,可解得Dn???1?当a?b时,易算出Dn???1?n?1ab?an?2?an?3b??abn?3?bn?2?,
n?1?n?1?an
六、数学归纳法
当已知一个n阶行列式的结果,要证明其等式对于任意的自然数都成立,常使用数学归纳法证明.如果未知n阶行列式的结果,也可以先计算当n?1,2,3时的行列式值,推导出n阶行列式的结果,然后使用数学归纳法证明结论的正确性.这种方法通常用在证明n阶行列式的等于某个值的题目中.
1?a111?11??111?111?11?ann?1?a1a2?an?1???i?1ai1?a2?例6 证明Dn??11?1?an?1?? ??1?证明 当n?1时，Dn?1?a1?a1?1??,所以结论成立.
?a1?10