2012 2013学年度明德衡民中学高一数学竞赛试题
(时量：120分钟 满分：100分) 得分 评卷人 一、选择题：（本大题共6小题，每小题 6分，共36分。在 每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 题号 答案 1,3,5?,P?M?N，则P的子集共有 （1）已知集合M??0,1,2,3,4?,N?? （A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个 （2）函数的y?3log3x图象是
y
y11y11
y
111 OxOxOxO1x （A） （B） （C） （D）
（3）如图1是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A）6 （C）??
（B）9 （D）??
6 3 图1
3 a?b?10，则b? （4）已知向量a,b夹角为45，a?1且2 (A)2 (B)6 (C)22 (D)32 （5）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,???)的最小正周期为?，且满足 2f(?x)?f(x)，则
?3?)单调递减 (B)f(x)在(,)单调递减
442?3??)单调递增 (C)f(x)在(0,)单调递增 (D)f(x)在(,442 (A)f(x)在(0,?（6）在等腰Rt△ABC中，?C?90，现沿斜边AB上的高CD折成直二面角A?CD?B,
? 那么得到的二面角C?AB?D的余弦值为 (A)
2236 (B) (C) (D) 2333高一数学竞赛 第 1 页 （共 1 页）
得分 评卷人 二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分。把
正确答案填在题中横线上）
（7）已知长、宽、高分别为3,4,5的长方体内接于球（顶点都在球面上），则此球的表面积 是_______.
（8）三棱锥A?BCD中，E,F分别是AC,BD的中点，若CD?4,AB?2，且EF?AB， 则EF与CD所成的角为_______.
（9）已知直线l:x?y?3?0被圆C:(x?a)2?(y?2)2?4截得的弦长为22，则a的值 为 .
（10）若直线x?my?m?0与mx?(2m?3)y?1?0互相垂直，则m的值为 . （11） 关于x的方程4?x2?k(x?2)?3有两个不等实根，则实数k的取值范围是_______.
三、解答题：（本大题共4小题，其中第12-14小题各8分，第15小题10分， 共34分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
得分 评卷人 （12）（本小题满分8分）
如图2， P为菱形ABCD所在平面外一点，PA?平面ABCD， 求证：PC?BD.
PDA图2CB
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得分 评卷人 （13）（本小题满分8分）
△ABC中，内角A,B,C满足A?C?2B,B?C，且sinC?5， 13 求cosA． 得分 评卷人 （14）（本小题满分8分）
如图3，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC?A1B1C1中，?ABC?90，
AB?BC?AA1?2，D是AB的中点.
（I）求证：AC1//平面B1DC；
（II）求直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值.
A1C1B1AD图3BC
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得分 评卷人 （15）（本小题满分10分）
已知圆心为坐标原点O的圆与直线l:x?y?42?0相切，如图4所示. （I）求圆O的方程；
（II）若点P在直线x?8上，过P引圆O的两条切线PA,PB，切点分别为A,B， 求证：直线AB恒过定点.
yAP
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OB图4xl
2012 2013学年度明德衡民中学高一数学竞赛答案
(时量：120分钟 满分：100分)
一、选择题：（本大题共6小题，每小题 6分，共36分。在每小题给出的四个
选项中只有一个是符合题目要求的） 题号 答案
1 B 2 A 3 B 4 D 5 A 6 C 二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分。把正确答案填在题中横
线上）
53?k? （7）52 （8）30 （9） 3或?5 （10）0或2 （11）124?三、解答题：（本大题共4小题，其中第12-14小题各8分，第15小题10分， 共34分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
（12）（本小题满分8分）
如图2，P为菱形ABCD所在平面外一点，PA?平面ABCD，求证：PC?BD.
PDA图2CB证明：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，
∴BD?AC. ……………………………………………………………2分
∵PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA?BD. ……………………………………………………………4分 ∵PA?AC?A，
∴BD?平面PAC.………………………………………………………6分 ∵PC?平面PAC，
∴PC?BD. ……………………………………………………………8分
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