初三数学总复习教案（七）
三角形（二）
[知识梳理]
判定 性质 1.等腰三角形的性质与判定 1.有一个角为1.两锐角互余 与判定
直90° 2.Rt△斜边上的中线等 判定 性质 角 2.一边上的中于斜边的一半 1.有两边相等 1.有两腰相等，两底角相等 2.“三线合一”定理 3.轴对称图形，有一条对称轴 1.三边相等，三角相等 2.内心和外心重合 2.轴对称图形，有三条对称轴 三角线等于这边的一半 逆定理 3.勾股定理 4.30°角所对的直角边等于斜边的一半 5.面积法：S=ab/2=ch/2 等 2.等角对等边 腰 3.“三线合一”的三 逆定理 角 形 等 1.三边都相等 边 2.三角都相等 三 3.有一角角为60°角 的等腰三角形 形
3、轴对称与轴对称图形 二、教学目标：
1、从应用的角度将特殊形的主要特性系统化 , 为学生应用这些特性解题奠定基础。 2、通过对典型例题的解法的探讨，激活学生的解题思维，提高学生的解题水平。 三、教学重点：
掌握等腰三角形、直角三角形这两类特殊三角形的特性及应用。 四、[典型例析]
例1、 已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°。AB边后垂直平分线交BC于D，求证：DC＝2BD
分析：由于DC，BD在同一线上欲证DC＝2BD，表面看似不易，，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段。故连结AD这样BD＝AD，证明DC＝2AD即可，而DC，AD在同一三角动中，且已知∠A＝120°
2.直角三角形的性质
形 3.勾股定理的
可求∠B＝∠C＝30°。将此问题转化成含30°角的Rt△性质。
A
1
B D C 证明：连结AD
∵D在AB 垂直平分线上。 ∴BD＝AD ∴∠B＝∠1
∵∠BAC＝120° AB＝AC ∴∠B＝∠C＝30° ∴∠DAC＝90°
在Rt△DAC中∠C=30°则 DC=2AD ∴DC=2BD
题后反思：证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了学用的折平法和加倍法外，还可用含有30°角的Rt△性质；三角形中们线，直角三角动斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，应想到利用它转移等量线段
例2、 如图（1）四边形ABCD中，∠A=90°，且AB2+AD2=BC2+CD2. 求证：∠B与∠D互补
（2）四边形ABCD中，∠A=90°AB=5的度数和四边形ABCD的面积
C
D
A B 分析：（1）欲证∠B与∠D互补，只证∠A与∠C互补即可，且知∠A=90°故只证∠C=90°，根据是题没中条件，可利用
3，BC=CD=52,DA=5,求∠B与∠D互补
勾股定理及逆定理证明之，故连结BD,构造Rt△。
(2)欲求四边形面积，可将期转化为求三角形面积，且题中∠A=90°故连结BD,构造Rt△。利用勾股定理求出BD。在△BCD中，再利用勾股逆定理确定△BCD为等腰Rt△.在Rt△ABC中，可利用边的特殊关系确定角。这样（2）中问题即可求出。
（1） 证明：连结BD
∵∠A=90° ∴AB2+AD2=BC2+CD2.
又∵AB2+AD2=BC2+CD2. ∴BD2+BC2+CD2 ∴∠C=90° 在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360° ∴∠ABC+∠ADC=360°-180° 即∠B与∠D互补
C
D 3 2 4
A 1 B
（2） 连结BD
∵∠A=90°,AD=5,AB=5
3
∵BD=∴AD=
AD2?AB2?52?(53)2?10 12BD ∴∠1=30° ∠2=60°
在△BCD中 ∵BC2+CD2=(5
∴∠C=90°又BC=CD ∴△BCD为等腰Rt△ ∴∠3=∠4=45°
2)2+(52)2=100=102=BD2
∴∠ABC=45°+30°=75° ∠ADC=45°+60°=105°
S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD=
12AB·AD+
12CB·CD
=
12·5
3·5+
3) 212·5
2·52
=25(1+
题后反思：若题目中设及到线段平方和及直角问题，可考虑勾股（逆）定理，注意二者的区别，能灵活应用。若知道三角形三边长时，别忘了用勾股逆定理验证一下是否为Rt△。若为Rt△，则有关计算就简单多了。关于不规则的多边形计算问题往往转化为三角形的相关计算，转化时注意利用期特殊的边或角。
例3、 若一等腰三角形腰长为4cm，且腰上的高为2cm，则等腰三角形顶角为 度 分析：此题没有给出图形，要考虑两种情况，因为高有可能做在三角形内，也有可能做在三角形外。 解：如图 若为图(1)在Rt?ABD中 BD=2cm AB=4cm BD=1/2AB ∴顶角∠A=30?
若为图(2)在Rt?ABD中 BD=2cm AB=4cm ∴∠BAD=30? ∴顶角为150? ∴顶角为30?或150? A
30° B
D 150° 30°
B C C A D (1) (2)
题后反思：遇三角形高线问题，若未给图形或明确要求，要考虑两种情况，而中线、内角平分线只能在三角形内。 例4、 在?ABC中 已知M为BC中点，AN平分∠BAC BN⊥AN于N，AB=10 AC=6
则MN的长为
分析：欲求MN的长，看起来无法直接计算，但提到中点，可联想中位线，因为AN为角平分线，BN⊥AN，所以若延长BN交AC于D，则可证?AND≌?ABN 得BN=ND AD=AB
进而可求出DC，而这时MN为?BCD，MN=1/2CD A
1 2
N D
B M C 解：延长BN交AC于D
∵AN平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵BN⊥AN ∴∠ANB=∠AND=90? 在?ABN和?AND中
∠1=∠2 AN=AN ∠ANB=∠AND
∴?ABN≌?AND(ASA) ∴AD=AB BN=ND ∴DC=AC-AD=AC-AB=16-10=6 又∵M为BC中点 ∴MN=1/2DC=3
题后反思：①关于角平分线问题，常用两种辅助线； ②见中点联想中位线。
例5：如图