5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.
2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.
一、情境导入
一种牙膏出口处直径为5mm，子昂每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm，子昂还是按习惯每次挤出1cm的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？
二、合作探究
探究点一：等长变形问题
用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长
比圆的半径长2（π－2）m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.
解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.
解：设圆的半径为rm，则正方形的边长为[r＋2（π－2）]m.则有2πr＝4（r＋2π－4）.解得r＝4.所以铁丝的长为2πr＝8π（m）.所以圆的面积是π×42＝16π（m2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m2）.因为16π>4π2，所以圆的面积大.答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大.
方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.
探究点二：等体积变形问题
用直径为90mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm，高度是81mm
的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）
解析：圆钢由圆柱形变为长方体，形状变了，但体积不变.
解：设截取圆钢的长度为xmm.根据题意，得π（686.44
解方程，得x＝.
π
答：截取圆钢的长度为
686.44
mm. π
902
）x＝131×131×81，2
方法总结：圆钢由圆柱形变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变.“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.
探究点三：面积变化问题
将一个长、宽、高分别为15cm、12cm和8cm的长方体钢坯锻造成一个
底面是边长为12cm的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.
解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可.
解析：设锻造后长方体的高为xcm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得
x＝10.
锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2），
锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）.
因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.
方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等.
三、板书设计