第六章 第四节 基本不等式
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9＋3的最小值为 ( ) A．22 C．12
B．4 D．6
xy14
2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是 ( )
ab7
A. 29
C. 2
B．4 D．5
3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是 ( ) A．(－∞，－1] C．[－1,3]
B．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则2的 ( ) A．最小值为8 1
C．最小值为
8
B．最大值为8 1
D．最大值为 8
xzy19
5．设a， b，c都是正实数，且a，b满足＋＝1，则使a＋b≥c恒成立的c的范围是( )
abA．(0,8] C．(0,12]
B．(0,10] D．(0,16]
11k6．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于 ( )
aba＋bA．0 C．－4 二、填空题
1122
7．设x，y∈R，且xy≠0，则(x＋2)(2＋4y)·的最小值为________．
B．4 D．－2
yx2
8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数?(x)＝的图象交于P，Q两
x点，则线段PQ长的最小值是____．
9．已知二次函数f(x)＝ax－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则2
c＋2a＋2
＋的最小值为ac________．
三、解答题
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
11．已知a>0， b>0，c>0，d>0.求证：
12．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体形状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
详解答案
一、选择题
1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.
ad＋bcbc＋ad＋≥4. bdac∴2x＋y＝2.
则9＋3＝3＋3≥23·3＝23
xy2xy2xy2x＋y＝29＝6.
12xy当且仅当3＝3即x＝，y＝1时取得等号．
2答案：D
141141b4a1
2．解析：依题意得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2
ab2ab2ab2
b4a9
×)＝，当且ab2
a＋b＝2
??b4a仅当?＝ab??a>0，b>0
答案：C
24149
，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.
33ab2
3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)． 如果x>1，则log2x＋logx2≥2， 如果0 ＝xz11 ≤. 2＝x＋4xz＋4zx4z8 ＋＋4zx2 x4z当且仅当＝，x＝2z时取等号． zx答案：D 1919b9a5．解析：∵a，b，c都是正实数，且＋＝1?(a＋b)＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10 ababab＋2b9ab9a·＝16，当且仅当＝即b＝3a时等号成立，此时a＝4，b＝12， abab∴a＋b≥16.即要使a＋b≥c恒成立，0 11ka＋b6．解析：由＋＋≥0得k≥－ aba＋bab2 a＋b，而ab2 2 ＝＋＋2≥4(a＝b时取等 baaba＋b号)，所以－ ab小值等于 －4. 答案：C 2 a＋b≤－4，因此要使k≥－ ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最 二、填空题 1112222 7．解析：(x＋2)(2＋4y)＝1＋4＋4xy＋22≥1＋4＋2 yxxy4xy· 22 1 22 xy＝9，当且仅当 4xy＝ 22 1 xy22 时等号成立，则|xy|＝2 时等号成立． 2 答案：9 8．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则 222222 m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|＝4|OP|＝4(m＋n)＝4(m＋2)≥16(当且仅当m＝2，即m＝2 mmm244 时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4. 答案：4 9．解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0， 4ac－11 因此有＝0，从而c＝>0， 4a4a∴ c＋2a＋2212＋＝(＋8a)＋(2＋4a)≥2×4＋2＝10， aca4a2 ??a＝8a， 当且仅当?1 ??4a＝4a， 2 2 1 ，即a＝时取等号．故所求的最小值为10. 2 答案：10 三、解答题 10．解：(1)∵x>0，y>0， ∴xy＝2x＋8y≥216xy 即xy≥8xy，∴ xy≥8， 即xy≥64. 当且仅当2x＝8y 即x＝16，y＝4时，“＝”成立． ∴xy的最小值为64. (2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 28 ∴2x＋8y＝xy，即＋＝1. yx282x8y∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2 yxyx2x8y·＝18 yx2x8y当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立． yx∴x＋y的最小值为18. 11．证明：ad＋bcbc＋adacbdabcd＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b，cbdacbdacbadcad＋bcbc＋ad＋≥4. bdac＝d时，取“＝”)，故 12．解：设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy.由题意，知40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得 3 200≥2 40x·90y＋20xy＝120xy＋20xy ＝120S＋20S， ∴S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0， 故S≤10，从而S≤100. (1)所以S的最大允许值是100平方米． (2)S取得最大值100的条件是40x＝90y，且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．