高二数学选修1-2 推理与证明测试题（2006.4）
1.如果数列?an?是等差数列，则 A.a1?a8?a4?a5
B. a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5
D.a1a8?a4a5
2.下面使用类比推理正确的是 A.“若a?3?b?3,则a?b”类推出“若a?0?b?0,则a?b” B.“若(a?b)c?ac?bc”类推出“(a?b)c?ac?bc”
a?bab?? （c≠0）” cccnn（ab）?anbn” 类推出“（a?b）?an?bn” D.“
C.“若(a?b)c?ac?bc” 类推出“
3.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.设f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，则f2007(x)? A.sinx
B.－sinx
01'C.cosx
23D.－cosx
5.在十进制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6.函数y?ax2?1的图像与直线y?x相切，则a= A.
1 8 B.
1 42
2
2C.
1 2 D. 1
7.下面的四个不等式：①a?b?c?ab?bc?ca；②a?1?a??其中不成立的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1ab2；③??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?.4ba????8.抛物线x2?4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为
A.2 B.3 C.4 D. 5 9.设 f(x)?|x?1|?|x|, 则f[f()]?
A. ?121 2? B. 0
? C.
1 2? D. 1
10.已知向量a?(x?5,3), b?(2,x),且a?b, 则由x的值构成的集合是
A.{2,3} B. {-1, 6} C. {2} D. {6} 11. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b??平面?，直线a?平面?，直线b∥平面?，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 12.已知f(x?1)???2f(x)（x?N*）,f(1)?1 ，猜想f(x）的表达式为
f(x)?24212A.f(x)?x B.f(x)? C.f(x)? D.f(x)?
2?2x?1x?12x?113.证明：2,3,5不能为同一等差数列的三项.
14.在△ABC中，sinA?sinB?sinC，判断△ABC的形状.
cosB?cosC
15.已知：空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，判断直线EF与平面ABD的关系，并证明你的结论.
16.已知函数f(x)?ln(1?x)?x，求f(x)的最大值.
17.△ABC三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：角B?90.
0
18. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：
AB2?AC2?BC2。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系
为 .
2?3?4?3，3+4+5+6+7=5中，可得到一般规律为 (用数学表达式表示) 19.从1?1，
20.函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
21.设平面内有ｎ条直线(n?3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则f(4)= ；
当ｎ＞４时，f(n)＝ （用含n的数学表达式表示）
四.解答题. （每题13分，共26分.选答两题，多选则去掉一个得分最低的题后计算总分） 22.在各项为正的数列?an?中，数列的前n项和Sn满足Sn?2221?1??? a?n??2?an?（1） 求a1,a2,a3；（2） 由（1）猜想数列?an?的通项公式；（3） 求Sn
23.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n?N，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn成正比，这些比例系数依次为正常数a,b,c. （Ⅰ）求xn?1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a,b,c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
24. 设函数f(x)?xsinx(x?R).
（1）证明：f(x?2k?)?f(x)?2k?sinx,k?Z；
4x0（2）设x0为f(x)的一个极值点，证明[f(x0)]?. 21?x02?2
五.解答题. （共8分.从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分） 25. 通过计算可得下列等式：
22?12?2?1?1
32?22?2?2?1 42?32?2?3?1
┅┅
(n?1)2?n2?2?n?1
将以上各式分别相加得：(n?1)2?12?2?(1?2?3???n)?n 即：1?2?3???n?n(n?1) 22222类比上述求法：请你求出1?2?3???n的值. 26. 直角三角形的两条直角边的和为a，求斜边的高的最大值
27.已知f(x)(x?R)恒不为0，对于任意x1,x2?R 等式f?x1??f?x2??2f??x1?x2??x1?x2???f??恒成立.求证：f(x)是偶函数.
?2??2?a?bc?
1?a?b1?c28.已知ΔABC的三条边分别为a，b，c求证：
高二数学选修1-2 推理与证明测试题答案（2006.4）
题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 D 10 C 11 A 12 B 13.证明：假设2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n满足
3=2+md ① 5=2+nd ②
①?n-②?m得：3n-5m=2(n-m) 两边平方得： 3n+5m-215mn=2(n-m)
2
2
2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数?无理数 所以，假设不正确。即 2、3、5不能为同一等差数列的三项
14. ?ABC是直角三角形； 因为sinA=
2
2
2
sinB?sinC
cosB?cosC据正、余弦定理得 ：（b+c）(a-b-c)=0； 又因为a,b,c为?ABC的三边，所以 b+c?0
222
所以 a=b+c 即?ABC为直角三角形.
15.平行； 提示：连接BD，因为E，F分别为BC，CD的中点， EF∥BD. 16.提示：用求导的方法可求得f(x)的最大值为0
a2?c2?b22ac?b2b2b2b??1?17.证明：cosB?=1? ?1?2ac2ac2acb(a?c)a?c?a,b,c为△ABC三边，?a?c?b，?1?222218. S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ADB .
b?0?cosB?0 ?B?900. a?c19. n?(n?1)?(n?2)?......?(3n?2)?(2n?1)2
20. f(2.5)>f(1)>f(3.5) 21. 5； （n+1）(n-2)． 22.（1）a1?1,a2?（2）an?n?n?1；（3）Sn?n. 2?1,a3?3?2；
1223.解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
22cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*) 即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1?a?b. 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且cx1?a?b时，每年年初鱼群的总量保持不变. c24. 证明：1）f(x?2k?)?f(x)?（x?2k?）sin(x?2k?)-xsinx
（x?2k?）sinx-xsinx=2k?sinx =
2) f?(x)?sinx?xcosx
f?(x0)?sinx0?x0cosx0?0 ① 又sin2x0?cos2x0?1 ②
x02x02x042222由①②知sinx0= 所以[f(x0)]?x0sinx0?x0 ?2221?x01?x01?x0225.[解] 2?1?3?1?3?1?1 3?2?3?2?3?2?1
33233243?33?3?32?3?3?1 ┅┅
(n?1)3?n3?3?n2?3?n?1
将以上各式分别相加得：(n?1)?1?3?(1?2?3???n)?3?(1?2?3??n)?n 所以： 1?2?3???n?222233222211?n1[(n?1)3?1?n?3n]?n(n?1)(2n?1) 32626.2a27.简证：令x1?x2，则有f?0??1，再令x1??x2?x即可 4x,x?(0,??) 1?x28.证明：设f(x)?设x1,x2是(0,??)上的任意两个实数，且x2?x1?0，
f(x1)?f(x2)?x1xx1?x2 ?2?1?x11?x2(1?x1)(1?x2)x在(0,??)上是增函数。 1?x因为x2?x1?0，所以f(x1)?f(x2)。所以f(x)?由a?b?c?0知f(a?b)?f(c)即
a?bc?.
1?a?b1?c