2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参
赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或
其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文
引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有
违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展
示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B
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2.
3.
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日期： 2015 年 9 月 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
DVD在线租赁的分配及优化研究
摘要
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。本文主要运用0—1规划模型，线性规划和目标规划模型，研究在线DVD订单问题。
问题一中，首先以“至少50%的会员在一个月之内能够看到DVD”和“至少95%的会员在三个月之内能够看到DVD”为约束条件，建立了简易规划模型，计算出五种DVD至少应准备的数量：7599.8张。五种DVD的具体购买情况见表二。但它没有考虑存在同时愿意看5张DVD中两张DVD的会员情况，故进一步考虑同时想看五种DVD中相同两种DVD的人。用动态方程的方法精确描述了租赁过程，并建立了相应的规划模型。在精确模型中，同样以两种百分数为约束条件。精确模型的具体结果见表6和表7。
问题二中，针对偏爱程度和满意度的转化问题，用了非增量函数来解决，并在此基础上建立了0-1规划和目标规划模型。会员对DVD的偏爱度随着订单数的增加而减少，而不同会员对同一种DVD的偏爱度相同时，这就要考虑再分配DVD时优先考虑编号在前的会员，使会员对自己所需要DVD的满意度达到最大。对于当前订单的分配方案的确定问题，建立目标规划模型并用LINGO软件实现对此题的0-1规划模型和目标规划模型的求解，因此可以获得最大的满意度和其中前30位会员获得DVD情况也给出最优的分配方案。
问题三中，建立以总的DVD购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。通过确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率；然后通过程序编程来确定每种DVD的购买量；建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配。将多目标规划转化为单目标，同时将第j种在线DVD的购买量yi的整数约束去掉，求解出最小购买数为178.125张。将最小购买数作为约束条件，优化满意度后，得到最大满意度为95%；然后对此时DVD的购买量yi取整，得到总购买数为186张。当购买数为186张时，会员满意度达到97%。
问题四中，对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式下网站会得到不同的经济效益。在限定每月最多租赁两次的情况下得到使网站的效益最大时，应该限定每个会员每次租赁最多2张DVD。同时讨论了对于限定每次最多租赁3张DVD的情况下，最佳的租赁次数限制。
通过上述模型的建立与求解，充分发挥了网络的诸多优势，传播范围广泛、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的在线DVD订购服务，为经营者提供更合理的经营方式。
关键字：0—1规划 目标规划 LINGO 满意度
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一、问题的提出
考虑如下的DVD在线租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
其中网站有如下几个约定：1、每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。2、会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
现在需要解决以下几个问题：
1） 若网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2） 表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3） 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？ 4） 在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出问题，并建立相应的数学模型加以改进。
二、模型假设和符号说明
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次； 同一种DVD每人只能租赁一次； DVD在租赁过程中无损坏； 会员每月至少交一次订单；
会员只有把前一次所借的DVD寄回，才可以继续下一次租赁； 月底DVD全部收回，继续下个周期的租赁；
随着时间的推移，该网站的会员们的流动情况不会出现大变动。
符号
意义
Q
aij cij
DVD的张数
会员i对DVDj订单的数量
会员i对某种DVDj偏爱度
2
bj 第j种DVD的总张数
购买量 会员的标号 DVD的种类 第i个月实际DVD准备量
yi
i
j xij
三、问题分析
3.1 问题一的分析
1000位会员的调查表即是10万个会员的需求预测。由于具体会员订单的
不可预知性，无法考虑各种DVD之间的横向数量约束。但是可以考虑看到DVD的会员中至少50%的会员在一个月之内能够看到该DVD的条件和至少95%的会员在一个月之内能够看到该DVD。这两种情况就是目标函数的一个约束条件。为了结果的精确性，利用目标规划和动态规划建立了简易模型和精确模型。 3.2 问题二的分析
网站给出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会
员的在线订单，要求给出一个是会员总的满意度最大的一个分配方案。即如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度，就是说对DVD的分配原则是使得会员的满意度最大。具体说来是当会员一次租到的DVD的数量越多满意度越高，当租到的DVD所具有的会员的偏爱度越高满意度也越高，也就是说会员对网站的满意度与满足会员的偏爱度是有关的，显然这是一个0-1规划和目标规划问题。
3.3 问题三的分析
题目需要回答怎样购买各种DVD的数量来使95%的会员能看到想看到的
DVD，并且要怎么分配才能使满意度达到最大。建立以总的购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。并确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率，然后通过程序编程来确定每种DVD的购买量。应建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配； 3.4问题四的分析
对任何经营方而言，利润是一个关键的考虑因素，显然在前面三个问题中
我们没有考虑网站经营者的成本利润问题。网站的利润与会员所缴纳的月费密切相关，但同时会员观看DVD的满意度也是一个关键因素。所以，问题四主要解决经营者的利润最大化、会员满意度最大化的问题，即网站经营管理者的最优模式。
四、模型的建立与求解
4.1问题一:如何购买新的DVD
解决的问题可分为两个部分，一是至少应该准备多少张DVD，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，我们称这种情况为
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